Композиция функций

Компози́ция фу́нкций в математике — это применение одной функции к результату другой.

[править] Определение

Пусть $F:X \to Y$ и $G: F(X) \subset Y \to Z$ две функции. Тогда их композицией называется функция $G \circ F: X \to Z$ , определённая равенством:

$G \circ F(x) = G(F(x)),\; x\in X$ .

$(H \circ G ) \circ F = H \circ ( G \circ F )$ .

$F(x) = \mathrm{id}_X(x) = x,\; \forall x \in X$ ,

то

$G \circ \mathrm{id}_X = G$ .

$G(y) = \mathrm{id}_Y(y) = y,\; \forall y \in Y$ ,

то

$\mathrm{id}_Y \circ F = F$ .

Рассмотрим пространство всех биекций множества $X$ на себя и обозначим его $\mathcal{F}_X$ . То есть если $F\in \mathcal{F}_X$ , то $F:X \to X$ — биекция. Тогда композиция функций из $\mathcal{F}_X$ является бинарной операцией, а $(\mathcal{F}_X, \circ)$ — группой. $id X$ является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу $F \in \mathcal{F}_X$ является $F^{-1}\in \mathcal{F}_X$ — обратная функция.
Группа $(\mathcal{F}_X, \circ)$ , вообще говоря, не коммутативна, то есть $F_1 \circ F_2 \not= F_2 \circ F_1$ .

Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть $(X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y), (Z,\mathcal{T}_Z)$ — топологические пространства. Пусть $f:X \to Y$ и $g:f(X) \subset Y \to Z$ две функции, $y_0 = f(x_0),\;f \in C(x_0),\; g\in C(y_0)$ . Тогда $g \circ f \in C(x_0)$ .

Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть $f,g: \in \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; y_0 = f(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0),\; g\in \mathcal{D}(y_0)$ . Тогда $g \circ f \in \mathcal{D}(x_0)$ , и