Złożenie funkcji

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Składanie funkcji (superpozycja) to operator dwuargumentowy, łączny, nieprzemienny, który zwraca wartość pewnej funkcji dla argumentu będącego wartością kolejnej funkcji. Precyzyjnie: dane są dwie funkcje, $f: X \to Y$ oraz $g: Y \to Z$ , to ich złożeniem nazywamy funkcję $(g \circ f): X \to Z$ , której wartości dane są wzorem: $(g \circ f)(x)=g(f(x))$ .

Funkcję $g \circ f$ (często po nadaniu oddzielnego oznaczenia) powstałą w wyniku złożenia nazywa się funkcją złożoną.

Zauważmy, że jeśli $g \circ f$ istnieje, to $f \circ g$ nie musi istnieć. Jest to możliwe wtedy, jeśli zbiory $X = Z$ , wtedy $(f \circ g): Y \to Y$ . Oczywiście $f \circ g$ jest na ogół inną funkcją niż $g \circ f$ .

[edytuj] Przykład

Niech $f: \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 2x+1$ i $g: \mathbb R \to \mathbb R, g(x)=x^2$ . Wtedy:

$(g \circ f): \mathbb R \to \mathbb R, (g \circ f)(x)=(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ , natomiast

$(f \circ g): \mathbb R \to \mathbb R, (f \circ g)(x)=2(x^2)+1 = 2x^2 + 1$ .

Widzimy, iż funkcje $g \circ f$ oraz $f \circ g$ są różne.

[edytuj] Inne własności

Ponieważ ten operator jest łączny, zatem zachodzi $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ , zatem uprawniony jest zapis $f \circ g \circ h$ .

Jeżeli $f: X \to X$ , to można wykonać złożenie $f$ samą ze sobą – otrzymaną funkcję $(f \circ f)$ oznacza się wówczas $f 2$ . Analogicznie, $f^3 = (f \circ f \circ f)$ , itd. Dodatkowo funkcję $f$ , dla której $f \circ f \circ f = f$ , czyli $(f \circ f)(x) = x$ nazywamy inwolucją.

Tradycyjnie $f 2$ jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako $f(x) \cdot f(x)$ . W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: $sin 2 x + cos 2 x = 1$ zapis $sin 2 x$ oznacza właśnie $\sin x \cdot \sin x = (\sin x)^2$ . Nie prowadzi to jednak do większych nieporozumień.

Składanie funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ono strukturę półgrupy lub grupy. Przykładem może tu być $Σ X$ – grupa permutacji danego zbioru.