Идеал (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Идеал — специального рода подобъект в некоторой алгебраической структуре. Понятие идеала возникло первоначально в теории колец. Название «идеал» ведет свое происхождение от «идеальных чисел» (дивизоров).

Содержание 1 Определения 2 Свойства 3 Связанные понятия 4 Типы идеалов

[править] Определения

Для алгебры или кольца A идеал есть подалгебра или подкольцо, замкнутая относительно умножения на элементы из A. При этом идеал называется левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из A. Идеал, являющийся одновременно левым и правым, называется двусторонним. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают.

Более точно: Идеалом кольца A называется такое подмножество I кольца A, что

1. для любых элементов i и j из I, их сумма i+j также лежит в I;
2. для любого элемента i из I его противоположный элемент -i также лежит в I;
3. (условие на правые идеалы) для любого элемента i из I и любого элемента a из A произведение ia также лежит в I;
4. (условие на левые идеалы) для любого элемента i из I и любого элемента a из A произведение ai также лежит в I.

[править] Свойства

• Двусторонние идеалы в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные подгруппы в группах:
  • Для всякого гомоморфизма ядром является идеал, и обратно, всякий идеал — ядро некоторого гомоморфизма.
  • Более того, идеал однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ гомоморфизма, ядром которого он является: f(A) изоморфен факторкольцу (факторалгебре) A / I.

Для любого подмножества можно определить идеал I_X, порождённый X, как пересечение всех идеалов, содержащих множество X. В этом случае множество X назывется базисом идеала I_X. Разные базисы могут порождать один и тот же идеал. Идеал, порождённый одним элементом, называется главным.

• Пересечение левых (двусторонних) идеалов снова будет левым (двусторонним) идеалом.
  • Для колец и алгебр теоретико-множественное объединение идеалов не обязано быть идеалом.

Пусть I,J — левые или двусторонние идеалы в кольце (или алгебре) A. Суммой идеалов I и J называется минимальный идеал в A, содержащий I и J. Относительно суммы все (левые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют решётку.

• Для k-алгебры A (алгебры над полем k) идеал кольца A может, вообще говоря, не быть идеалом алгебры A.

Например, если A есть k-алгебра с нулевым умножением, то множество всех идеалов кольца A совпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы A, а множество всех идеалов алгебры A совпадает с множеством всех подпространств векторного k-пространства A. Однако в случае, когда A — алгебра с единицей, оба эти понятия совпадают.

[править] Связанные понятия

Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их идеал или решётку идеалов. Например:

• Кольцо, не имеющее нетривиальных двусторонних идеалов, называется простым.
• Кольцо без собственных односторонних идеалов является телом. См. также: кольцо главных идеалов, артиново кольцо, нётерово кольцо.

С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологическое пространство SpecA, точками которого являются все простые идеалы кольца A, отличные от A, а идеалы кольца A определяют замкнутые подмножества пространства SpecA.

Понятие идеала тесно связано с понятием модуля. Идеал (правый или левый) можно определять как подмодуль кольца, рассмотренного как правый или левый модуль над собой.

[править] Типы идеалов

• Минимальный идеал
• Максимальный идеал
• Нильпотентный идеал
• Радикальный идеал
• Главный идеал
• Конечнопорождённый идеал
• Первичный идеал

У этого термина существуют и другие значения, см. Идеал (значения).