Главный идеал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Гла́вным идеа́лом в теории колец называется идеал $i$ кольца $R$ , порождённый некоторым элементом $a$ из $R$ .

Главным левым идеалом кольца $R$ называется подмножество $R$ вида $Ra=\{ra: r\in R\}$ .
Главным правым идеалом называется подмножество вида $aR=\{aR: r\in R\}$ .
Двусторонним главным идеалом называется подмножество вида $RaR = \{r_1ar'_1 + r_2ar'_2 + \dots + r_nar'_n: r_1,r'_1,\dots,r_n,r'_n \in R\}$ .

Если $R$ — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый $a$ , обозначают через $(a)$ .

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо $\mathbb{C}[x,y]$ многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных $x$ и $y$ . Идеал $(x, y)$ , порождённый многочленами $x$ и $y$ , (то есть идеал состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом $a\in\mathbb{C}[x,y]$ ; тогда на него должны делиться $x$ и $y$ . Это возможно, только если $a$ — ненулевая константа. Но в $(x, y)$ только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов. Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов. В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел.

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов $a$ и $b$ как порождающий элемент идеала $(a, b)$ .

Категория: Теория колец

Главный идеал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках