Теория Галуа
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, изучающий симметрии корней многочленов. Симметрии описываются в терминах группы перестановок корней многочлена (группа уравнения) — термин, впервые использованный Эваристом Галуа.
Содержание |
[править] Приложение к классическим задачам
Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как
- Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
- Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?
[править] Симметрии корней
Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами, которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.
[править] Пример: квадратное уравнение
У многочлена второй степени a x² + b x + c имеются два корня x1 и x2, симметричных относительно точки x=-b/2a. Возможно два варианта:
- Если эти корни рациональны, то уравнению x-x1=0 удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
- Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент x1⇔x2, и изоморфна .
[править] Более сложный пример
Рассмотрим теперь многочлен (x2−5)2−24.
Его корни: .
Существует 4!=24 различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.
Одно из таких уравнений — a+d=0. Поскольку a+c≠0, перестановка a→a, b→b, c→d, d→c не входит в группу Галуа.
Кроме того, можно заметить, что (a+b)²=8, но (a+c)²=12. Поэтому перестановка a→a, b→c, c→b, d→d не входит в группу.
Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:
- (a, b, c, d) → (a, b, c, d)
- (a, b, c, d) → (c, d, a, b)
- (a, b, c, d) → (b, a, d, c)
- (a, b, c, d) → (d, c, b, a)
и является четверной группой Клейна, изоморфной .
[править] Формулировка в терминах теории полей
Теория полей даёт более общее определение группы Галуа.
Пусть есть основное поле K и многочлен . Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте.
В классической теории Галуа в качестве основного поля используется поле рациональных чисел .
[править] Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах
Решения полиомиального уравнения P(x)=0 выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа уравнения разрешима.
Для уравнения n-й степени общего положения группа Галуа изоморфна симметрической группе Sn, то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы Sn при n>4 не являются разрешимыми, существуют многочлены степени n, корни которых не представимы в виде радикалов — теорема Абеля-Руффини.