Szereg (matematyka)

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Szeregiem liczbowym nazywamy parę uporządkowaną $\left(\{a_n\},\{s_n\}\right)$ , gdzie ${a n}$ jest dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych, natomiast ciąg ${s n}$ jest konstruowany według następującego wzoru: $s_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n$ . W dalszym ciągu dla skrócenia zapisu szereg $\left(\{a_n\},\{s_n\}\right)$ będziemy oznaczać: $\sum_{n=1}^{\infty}~a_n$ . Tym samym symbolem oznaczać będziemy również sumę tego szeregu, czyli granicę ciągu $s n$ .

Alternatywnie, jeżeli dany jest ciąg liczb rzeczywistych lub zespolonych $(a n)$ , to ciąg $(s n)$ jego sum częściowych, określony następująco:

s 1 = a 1

s 2 = a 1 + a 2

s 3 = a 1 + a 2 + a 3

$\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$

$s_n=a_1+a_2+\dots+a_{n-1}+a_n=\sum_{i=1}^{n}a_i$

$\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots$

nazywamy szeregiem o wyrazach $a n$ . Wyraz $a n$ nazywamy $n$ -tym wyrazem szeregu (lub wyrazem ogólnym). Sumę $s n$ nazywamy $n$ -tą sumą częściową szeregu.

Jeżeli ciąg $s n$ sum częściowych szeregu jest zbieżny, to jego granicę nazywamy sumą szeregu, a sam szereg nazywamy szeregiem zbieżnym. W przeciwnym wypadku (to znaczy, gdy ciąg sum częściowych nie ma granicy właściwej) szereg nazywamy rozbieżnym.

Uwaga: szereg oznacza się także symbolem dużej sigmy, nawet wtedy, gdy nie jest on zbieżny lub jego zbieżność nie jest znana.

Spis treści

1 Zbieżność bezwzględna i warunkowa
2 Kryteria zbieżności
3 Działania na szeregach
- 3.1 Dodawanie szeregów
- 3.2 Mnożenie szeregów
4 Szeregi funkcyjne
5 Przykłady
6 Rys historyczny
7 Uogólnienia
8 Zobacz też

[edytuj] Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Szereg $\sum_n~a_n$ nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg $\sum_n~|a_n|$ . Zbieżność bezwzględna szeregu pociąga za sobą zbieżność w zwykłym sensie, ale nie na odwrót – może się zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie. W takim przypadku mówimy, że szereg jest zbieżny warunkowo.

Twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy warunkowo zbieżnego szeregu liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.

Ogólniej, dla danego szeregu liczb rzeczywistych $\sum_n~a_n$ rozważmy szeregi $\sum_n~a_n^+$ jego składników dodatnich i $\sum_n~a_n^-$ jego składników ujemnych. Szereg $\sum_n~a_n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są oba te szeregi i jego suma jest równa $\sum_n~a_n^+ - \sum_n~a_n^-$ . Szereg jest zbieżny warunkowo wtedy i tylko wtedy, jeżeli oba szeregi są rozbieżne do $+\infty$ .

Przypadek szeregu bezwzględnie zbieżnego jest prostszy niż szeregu zbieżnego warunkowo – jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jego wyrazy można przestawiać w dowolny sposób, nie zmieniając przy tym sumy szeregu.

[edytuj] Kryteria zbieżności

Zobacz więcej w osobnym artykule: Kryteria zbieżności szeregów.

Podstawowym zadaniem przy badaniu szeregów jest stwierdzenie czy dany szereg jest zbieżny, czy nie. W praktyce korzystamy z wielu kryteriów zbieżności. Oto przykład takiego kryterium pochodządzego od d'Alemberta:

jeżeli wyrazy szeregu $\sum_n~a_n$ są dodatnie i $\limsup_{n \to \infty} {|a_{n+1}| \over |a_n|} < 1$ , to szereg $\sum_n~a_n$ jest zbieżny.

[edytuj] Działania na szeregach

Niech dane będą dwa szeregi $\sum_n~a_n$ oraz $\sum_n~b_n$ .

[edytuj] Dodawanie szeregów

Szereg $\sum_n~(a_n + b_n)$ nazywamy sumą szeregów $\sum_n~a_n$ i $\sum_n~b_n$ . Jeżeli oba szeregi są zbieżne, to ich suma również jest szeregiem zbieżnym. Analogicznie określa się różnicę szeregów.

[edytuj] Mnożenie szeregów

Iloczynem szeregów $\sum_n~a_n$ i $\sum_n~b_n$ nazywamy szereg określony następująco:

$\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1}$

co odpowiada ustawieniu wszystkich iloczynów wyrazów $a i b j$ w tablicę:

$\begin{matrix} a_1b_1 & & a_1b_2 & & a_1b_3 & \ldots\\ & \swarrow & & \swarrow & & \\ a_2b_1 & & a_2b_2 & & a_2b_3 & \ldots\\ & \swarrow & & \swarrow & & \\ a_3b_1 & & a_3b_2 & & a_3b_3 & \ldots\\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \\ \end{matrix}$

i sumowaniu kolejno grup elementów w kierunku oznaczonym strzałkami. Podstawowe twierdzenie Cauchy'ego mówi, że jeżeli oba szeregi $\sum_n~a_n$ i $\sum_n~b_n$ są bezwzględnie zbieżne odpowiednio do $A$ i $B$ , to zbieżny jest również ich iloczyn, a jego sumą jest $A \cdot B$ .

[edytuj] Szeregi funkcyjne

Szczególnie ważne dla zastosowań matematyki i jej własnych badań są rozmaite szeregi funkcyjne, w tym Fouriera i potęgowe. Okazuje się, że wiele funkcji można z dowolną dokładnością przybliżać takimi szeregami.

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Szereg geometryczny

Jeśli $a n$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ i $a_n\ne 0$ , to utworzony z jego wyrazów szereg:

$a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \dots = \sum_{n=1}^\infty~a_1 q^{n-1}$

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $| q | < 1$ . Jego suma jest wtedy równa

$a_1 \over 1-q$ .

Dla $q = {1 \over 2}$ i $a = 1$ mamy szereg:

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + \dots = \sum_{n=1}^\infty~\left({1 \over 2}\right)^{n-1}=2$

A więc szereg ten jest zbieżny.

[edytuj] Szereg harmoniczny

Szereg

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + \dots = \sum_{n=1}^\infty~{1 \over n}$

nazywamy harmonicznym. Szereg ten jest rozbieżny.

[edytuj] Szereg harmoniczny rzędu α

Szereg

$1 + {1 \over 4} + {1 \over 9} + {1 \over 16} + \dots = \sum_{n=1}^\infty~{1 \over n^2}$

nazywamy harmonicznym rzędu drugiego. Jest on zbieżny. Podobnie, dla każdego $α > 1$ zbieżny jest dowolny szereg harmoniczny rzędu $α$ , czyli szereg postaci:

$\sum_{n=1}^\infty~{1 \over n^\alpha}$

[edytuj] Twierdzenie Riemanna

Szereg

$1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots = \sum_{n=1}^\infty~{(-1)^n \over n}$ ,

zwany szeregiem Leibniza jest zbieżny do $l n 2$ , lecz tylko warunkowo (szereg wartości bezwzględnych jego wyrazów jest rozbieżnym szeregiem harmonicznym). Zarówno szereg składników dodatnich

$1 + {1 \over 3} + {1 \over 5} + {1 \over 7} + \dots$ ,

jak i szereg składników ujemnych

${1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 6} + {1 \over 8} + \dots$

są rozbieżne do $+\infty$ . Jak już wspominaliśmy przestawiając odpowiednio jego wyrazy można otrzymać szereg zbieżny do dowolnej liczby rzeczywstej, np. do pięciu.

[edytuj] Rys historyczny

Fakt, że istnieją szeregi nieskończone, które mają sumy skończone, był dla starożytnych paradoksem.

[edytuj] Uogólnienia

Definicja szeregu nie musi zamykać się jak powyżej wyłącznie na szeregi liczbowe, gdyż ciąg $(a n)$ nie musi być ciągiem liczb rzeczystych. Dlatego też definicja ta bez zmian przenosi się na przykład na wektorowe przestrzenie topologiczne.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../s/z/e/Szereg_%28matematyka%29.html"

Kategoria: Analiza matematyczna

Szereg (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Zbieżność bezwzględna i warunkowa

[edytuj] Kryteria zbieżności

[edytuj] Działania na szeregach

[edytuj] Dodawanie szeregów

[edytuj] Mnożenie szeregów

[edytuj] Szeregi funkcyjne

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Szereg geometryczny

[edytuj] Szereg harmoniczny

[edytuj] Szereg harmoniczny rzędu α

[edytuj] Twierdzenie Riemanna

[edytuj] Rys historyczny

[edytuj] Uogólnienia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach