Kryteria zbieżności szeregów

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Kryteria zbieżności szeregów to grupa twierdzeń pozwalających ustalić czy dany szereg jest zbieżny czy nie. Jeżeli szereg spełnia warunki podane w kryterium, to przesądza to o jego zbieżności lub rozbieżności, w przeciwnym wypadku dane kryterium mówi o szeregu tylko tyle, że ten go nie spełnia. Korzystając z kryterium zbieżności, zwykle wyliczamy pomocnicze wielkości związane z szeregiem i na tej podstawie wydajemy osąd.

Niech dany będzie szereg ∑a_n o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych.

Oto kilka najczęściej używanych kryteriów zbieżności szeregów liczbowych.

Spis treści

1 Warunek konieczny zbieżności
2 Warunek Cauchy'ego zbieżności
3 Zbieżność bezwzględna
4 Szeregi o wyrazach dowolnych
- 4.1 Kryterium Leibniza
- 4.2 Kryterium Abela
5 Szeregi funkcyjne
6 Zobacz też

[edytuj] Warunek konieczny zbieżności

Jeżeli szereg ∑a_n jest zbieżny, to lim_n→∞ a_n = 0. Jeśli więc wyraz ogólny szeregu nie zbiega do 0, to szereg ten jest rozbieżny.

[edytuj] Warunek Cauchy'ego zbieżności

Dla szeregów liczbowych zachodzi następujący warunek zbieżności, pochodzący od Cauchy'ego:

Szereg liczbowy ∑a_n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\forall_{\varepsilon > 0} \exists_{n_0 \in N} \forall_{n\geq n_0} \forall_{k\in N} \left \vert \sum_{i=n}^{n+k} a_i \right \vert < \varepsilon$

Jest to równoważne temu, że ciąg sum częściowych ciągu (a_n) jest ciągiem Cauchy'ego.

[edytuj] Zbieżność bezwzględna

Szereg ∑a_n nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg ∑|a_n|. Jeżeli dany szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest on zbieżny również w zwykłym sensie.

Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie – mówimy wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Zadziwiające twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę (zobacz: szereg).

Wszystkie poniższe twierdzenia rozstrzygają o zbieżności bezwzględnej szeregu ∑a_n.

[edytuj] Kryterium d'Alemberta

Jeżeli granica ciągu |a_n+1|/|a_n| istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑a_n jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny. Dla rozbieżności szeregu wystarczy zresztą, by istniała taka liczba N, że nierówność |a_n+1|/|a_n|≥1 była spełniona dla wszystkich n większych od N.

Jest to najprostsza wersja tego kryterium. Wersja nieco subtelniejsza: jeżeli granica górna ciągu |a_n+1|/|a_n| jest mniejsza niż 1, to szereg ∑a_n jest zbieżny.

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku gdy granica ta (lub odpowiednia granica górna) jest równa 1.

[edytuj] Kryterium Raabego

Jeżeli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy dany szereg jest zbieżny lub rozbieżny, warto skorzystać z kryterium Raabego:

$\lim_{n \to \infty} n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) >1 \implies$ szereg ∑a_n jest zbieżny

$\lim_{n \to \infty} n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) <1 \implies$ szereg ∑a_n jest rozbieżny

$\lim_{n \to \infty} n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) =1 \implies$ kryterium nie rozstrzyga

Należy zwrócić uwagę na fakt, że, aby szereg był zbieżny, granica z kryterium Raabego musi być większa od 1 - inaczej niż w przypadku kryterium d'Alemberta i Cauchy'ego.

[edytuj] Kryterium Cauchy'ego

Jeżeli granica ciągu $\sqrt[n]{|a_n|}$ istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg ∑a_n jest zbieżny; jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny.

Jak w przypadku poprzedniego kryterium, jest to wersja uproszczona. Wersja subtelniejsza mówi, że jeśli granica górna ciągu $\sqrt[n]{|a_n|}$ jest mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli granica górna jest większa od 1, to szereg jest rozbieżny.

Kryterium Cauchy'ego nie przesądza nic o zbieżności szeregu w przypadku, gdy odpowiednia granica (lub granica górna) jest równa 1.

Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze niż kryterium d'Alemberta – jeśli szereg spełnia warunek kryterium d'Alemberta, to spełnia warunek Cauchy'ego, ale nie na odwrót.

[edytuj] Kryterium całkowe

Szereg o wyrazie ogólnym $a n = f (n)$ jest zbieżny, jeżeli $f (x)$ jest funkcją monotonicznie malejącą i całka niewłaściwa $\int_a^\infty f(x)\;dx$ jest zbieżna; natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym $f (n)$ jest rozbieżny. Przy tym dolną granicę całkowania a należy tak obrać, żeby funkcja $f (x)$ w przedziale $a < x < \infty$ była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.

[edytuj] Kryterium porównawcze

Jeżeli wyrazy szeregu ∑a_n spełniają od pewnego N nierówność |a_n| ≤ b_n i szereg ∑b_n jest zbieżny, to również szereg ∑a_n jest zbieżny.

Jeżeli natomiast wyrazy szeregu ∑a_n spełniają od pewngo N nierówność |a_n| ≥ |b_n| i szereg ∑b_n jest rozbieżny, to również szereg ∑a_n jest rozbieżny.

Stosowanie tego kryterium wymaga pewnego zasobu szeregów, o których wiadomo, że są zbieżne. Często wygodnie jest porównywać dany szereg z szeregiem harmonicznym lub (rzadziej) geometrycznym.

[edytuj] Kryterium zagęszczania

Następujące proste kryterium również pochodzi od Cauchy'ego. Załóżmy, że szereg ∑a_n jest taki, że ciąg |a_n| jest monotonicznie malejący, a p jest liczbą naturalną. Jeżeli zbieżny jest szereg ∑pⁿ·|a_pⁿ|, to zbieżny jest szereg ∑a_n.

[edytuj] Kryterium ilorazowe

Jeżeli mamy szeregi ∑a_n, ∑b_n i znamy typ (rozbieżny, zbieżny) jednego z nich, oraz 0 < lim_n→∞ (a_n/b_n) < ∞, to drugi z nich jest tego samego typu.

Ponadto:

Jeżeli lim_n→∞ (a_n/b_n) = 0 i ∑b_n jest zbieżny, to ∑a_n jest zbieżny.

Jeżeli lim_n→∞ (a_n/b_n) = ∞ i ∑a_n jest zbieżny, to ∑b_n jest zbieżny.

[edytuj] Szeregi o wyrazach dowolnych

[edytuj] Kryterium Leibniza

Jeżeli dany jest ciąg liczb dodatnich $a_1\ge a_2\ge a_3\ge \ldots$ jest zbieżny do 0, to szereg $a_1-a_2+a_3-a_4\ldots$ jest zbieżny.

[edytuj] Kryterium Abela

Jeżeli mamy dany szereg postaci ∑a_nb_n, gdzie ciąg (a_n) jest nierosnący i zbieżny do 0, zaś ciąg sum częściowych ciągu (b_n) jest ograniczony, to szereg ∑a_nb_n jest zbieżny.