Szereg Taylora

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Szereg Taylora funkcji w punkcie – szereg potęgowy, którego współczynniki utworzone są z kolejnych pochodnych funkcji obliczonych w zadanym punkcie. Rozwinięcie funkcji w jej szereg Taylora pozwala obliczać wartości funkcji w pewnym otoczeniu badanego punktu z dowolną dokładnością za pomocą wartości wielomianu. Wzór Taylora ma duże zastosowanie w obliczeniach numerycznych.

Nazwa szereg Taylora pochodzi od nazwiska Brooka Taylora, angielskiego matematyka, który w roku 1715 jako pierwszy opublikował postać tego szeregu.

W definicji nie ma znaczenia, czy badana funkcja jest funkcją zmiennej rzeczywistej czy zespolonej.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
- 2.1 Przykład 1
- 2.2 Przykład 2
3 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Jeżeli funkcja f jest w punkcie $x 0$ (n+1)-krotnie różniczkowalna, to istnieje ξ z przedziału $[m i n (x, x 0), m a x (x, x 0)]$ , że:

$f(x) = (\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^{k}) + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$

We wzorze powyższym $\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$ nazywamy resztą Lagrange'a i oznaczamy R_n.

Gdy funkcja jest różniczkowalna nieskończenie wiele razy, zaś ciąg reszt Lagrange'a zbiega do zera dla każdego ξ pomiędzy x i x₀ (tzn. $\lim_{n \to \infty} \frac{f^{(n+1)} (\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}=0$ ) , otrzymujemy:

$f(x)=\sum_{k=0}^{\infin} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^{k}.$

W przypadku, gdy $x 0 = 0$ szereg ten nazywa się szeregiem Maclaurina i przyjmuje prostszą postać:

$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)x^k}{k!}$ .

Przybliżoną wartość funkcji można znaleźć licząc kilka pierwszych wartości:

$f(x)=\sum_{k=0}^{N}\frac{f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k}{k!}.$

Błąd jest wtedy nie większy niż:

$\max_{\xi\in[x_0,x]}\left((x-x_0)\left|\frac{f^{(N+1)}(x_0)(\xi-x_0)^{N+1}}{(N+1)!}\right|\right).$

Jeżeli szereg Taylora funkcji zbieżny jest w pewnym otoczeniu punktu (x₀−r, x₀+r) punktu x₀, a jego suma jest równa f(x) dla wszystkich x z tego otoczenia, to funkcję f nazywamy analityczną (w tym otoczeniu).

[edytuj] Przykłady

Poniżej znajdują się dwa przykłady zastosowań wzoru Taylora.

[edytuj] Przykład 1

Chcemy obliczyć $\sqrt{10}$ .

$\sqrt 9$ jest znane, podobnie jak wszystkie jego pochodne, tak więc:

$\sqrt 10=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(9)(10-9)^k}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(9)}{k!}\approx\sum_{k=0}^{N}\frac{f^{(k)}(9)}{k!}$

$\sqrt 10\approx\sqrt 9+\frac 1{2\sqrt 9}-\frac 1{8(\sqrt 9)^3}+\frac 3 {48(\sqrt 9)^5}=3+\frac 1 6-\frac 1{216}+\frac 3{3888}=3+\frac{631}{3888}\approx 3.162294238683127572016$

$\left(3+\frac{631}{3888}\right)^2=10+\frac{1585}{15116544}.$

Przy czym błąd jest nie większy niż:

$\max_{\xi\in[9,10]}\left((10-9)\left|{384(\sqrt\xi)^7}\right|\right)=\frac{15}{384(\sqrt 9)^7}=\frac{15}{839808}\approx 0.000017861$

[edytuj] Przykład 2

Chcemy uzyskać wzór na dobre przybliżenie $sin x$ .

Najpierw normalizujemy $x$ do przedziału $[0,2π)$ , następnie jeśli $x > π$ , to liczymy korzystając z:

sin x = - sin( - x) = - sin(2π - x)

i rozwijamy:

$\sin x=\sin 0+x\cos 0-\frac{x^2\sin 0}2-\frac{x^3\cos 0}6+\frac{x^4\sin 0}{24}+\frac{x^5\cos 0}{120}-\cdots$

Ponieważ $sin0 = 0$ , więc możemy to uprościć do:

$\sin x=x\cos 0-\frac{x^3\cos 0}6+\frac{x^5\cos 0}{120}-\frac{x^7\cos 0}{5040}+\frac{x^9\cos 0}{362880}-\frac{x^{11}\cos 0}{39916800}+\cdots$

A ponieważ $cos0 = 1$ :

$\sin x\approx x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+\frac{x^9}{362880}-\frac{x^{11}}{39916800}.$

Błąd tego przybliżenia to (uznajemy, że 12-ta pochodna też została użyta, tyle że wynosiła oczywiście zero):

$\max_{\xi\in[0,\pi]}\left((\pi-0)\left|\frac{\xi^{13}\cos\xi}{13!}\right|\right)=\pi \frac{\pi^{13}}{13!}=\frac{\pi^{14}}{6227020800}\approx 0.0014649.$

Czyli uzyskaliśmy całkiem dokładny i bardzo prosty algorytm liczenia $sin x$ . Dodając kilka następnych składników można uzyskać jeszcze większą dokładność.