Przekształcenie liniowe

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Ten artykuł dotyczy funkcji rozpatrywanej w algebrze liniowej. Zobacz też: funkcja liniowa.

Przekształcenie (odwzorowanie) liniowe – addytywna i jednorodna (pierwszego stopnia) funkcja między dwoma przestrzeniami liniowymi.

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Oznaczenie
- 1.2 Macierze
2 Własności
3 Rodzaje
4 Przykłady
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja formalna

Niech $U$ i $V$ będą przestrzeniami liniowymi, zaś $K$ ustalonym ciałem nad którym zbudowane są obie przestrzenie. Przekształcenie $f: U \to V$ nazywamy liniowym, gdy jest ono homomorfizmem przestrzeni $U$ w przestrzeń $V$ , czyli zachowuje działanie dodawania wektorów oraz mnożenia wektora przez skalar (jednokładności) między tymi przestrzeniami:

$\forall_{x,y\in U}\; A(x+y) = A(x)+A(y)$ (addytywność),
$\forall_{c\in K}\; \forall_{x\in U}\; A(cx)=cA(x)$ (jednorodność).

[edytuj] Oznaczenie

Przekształcenia liniowe oznacza się z reguły dużymi literami, zaś ich argumenty (o ile nie wprowadza to niejasności) zapisuje się bez nawiasów:

$Ax \equiv A(x)$ .

[edytuj] Macierze

Powyższy zapis ma swoje wytłumaczenie w izomorfizmie przestrzeni przekształceń liniowych i przestrzenią macierzy – oboma nad ustalonym ciałem.

Niech $A: U \to V$ oraz $\dim U=m,\; \dim V=n,$ . Wtedy przekształceniu $A \in \mathcal L(U, V)$ (gdzie $\mathcal L$ jest przestrzenią liniową przekształceń) możemy jednoznacznie przypisać macierz $\mathrm A \in M_{m \times n}(K)$ , zwaną macierzą przekształcenia liniowego odpowiadającego $A$ .

Wtedy składaniu przekształceń liniowych odpowiada iloczyn macierzy.

[edytuj] Własności

Z definicji wynika, że przekształcenia liniowe zachowują kombinacje liniowe wektorów:

$A(c_1 x_1 + \dots + c_m x_m) = c_1 Ax_1 + \dots + c_m Ax_m$ ,

dla $c_1, \dots, c_m \in K$ oraz $x_1, \dots, x_m \in U$ .

[edytuj] Rodzaje

Różnowartościowe przekształcenie liniowe nazywa się często przekształceniem nieosobliwym.
Gdy $U$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K$ , to przekształcenie $F: U \to K$ nazywamy funkcjonałem liniowym.
Przekształcenie liniowe $L: U \to U$ nazywa się operatorem liniowym. Takie przekształcenia są często stosowane w analizie matematycznej – należą do nich m.in. pochodne oraz całki oznaczone.