Transformação linear

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Em Matemática, uma transformação linear (também chamada de operador linear, aplicação linear ou mapa linear, se o dominio e contradominio coincidem, no primeiro caso) é uma função entre dois vetores(espaços vetoriais) que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação escalar. Em outras palavras, ela preserva combinações lineares. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

[editar] Definição e conseqüências imediatas

Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Diz-se que uma função T:V→W é uma Transformação linear se possui as seguintes propriedades:

É consequência direta que:

Isto equivale a dizer que a transformação linear preserva combinações lineares, isto é, para vetores v₁,v₂,...,v_n em V e escalares a₁,a₂,...,a_n em K:

Exemplo:

Exemplo de transformação não-linear:

[editar] Núcleo

O núcleo de uma transformação linear , denotado por , é o conjunto formado por todos os vetores que satisfazem:

(onde 0 é o vetor nulo de W)

Exemplo: O núcleo de pode ser definido como:

Considere agora, para n natural e n>0, e . Pelas propriedades das transformações lineares:
Logo: , ou seja, uma combinação linear de vetores de ker(T) também será um vetor de ker(T). Além disso, para qualquer transformação linear: , ou seja, . Então, ker(T) é um subespaço vetorial de V.

[editar] Imagem

A imagem de uma transformação linear T:V→W pode ser definida como o conjunto de todos os vetores , para os quais tal que:

Como já foi visto na seção anterior, em qualquer transformação linear, logo . Além disso, para um n>0 natural, sejam e . Pela definição de imagem, existem vetores , tais que . Então: , logo, uma combinação linear de vetores em Im(T) será também um vetor em Im(T), o que implica que Im(T) é um subespaço vetorial de W.

[editar] Dimensão da imagem e do núcleo

Para a aplicação linear T:V→W (com V e W espaços vetoriais sobre um corpo K), seja {u₁,u₂,...,u_n} uma base de ker(T) (o que significa que dim(ker(T))=n). Como ker(T) é um subespaço de V, pode-se completar essa base até obtermos uma base de V. Seja então {u₁,u₂,...,u_n,w₁,w₂,...,w_m} uma base de V (Isto significa que dim(V)=n+m). Sejam também a₁,a₂,...,a_n,a_n+1,...,a_n+m escalares em K. Todo vetor v de V pode ser escrito na forma: v = a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_nu_n + a_{n + 1}w₁ + a_{n + 2}w₂ + ...a_{n + m}w_m. A imagem desse vetor pode ser escrita genericamente como:
T(v) = T(a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_nu_n + a_{n + 1}w₁ + a_{n + 2}w₂ + ...a_{n + m}w_m) = T(a₁u₁ + a₂u₂ + ... + a_nu_n) + T(a_{n + 1}w₁ + a_{n + 2}w₂ + ...a_{n + m}w_m). Mas, u₁,u₂,...,u_n é base do núcleo. Logo, o argumento da transformação no primeiro termo do segundo membro é um vetor do núcleo e sua imagem é o vetor nulo, então:
T(v) = T(a_{n + 1}w₁ + a_{n + 2}w₂ + ... + a_{n + m}w_m)
T(v) = a_{n + 1}T(w₁) + a_{n + 2}T(w₂) + ... + a_{n + m}T(w_m).Provemos agora que os vetores da direita são linearmente independentes (L.I.), e poderemos então afirmar que eles formam uma base da imagem de T. Para isso façamos o segundo membro acima igual ao vetor nulo e provemos que, em conseqüência disso, todos os escalares serão iguais a zero:
a_{n + 1}T(w₁) + a_{n + 2}T(w₂) + ... + a_{n + m}T(w_m) = 0. Pelas propriedades das transformações lineares:
T(a_{n + 1}w₁ + a_{n + 2}w₂ + ... + a_{n + m}w_m) = 0. Isso implica que a_{n + 1}w₁ + a_{n + 2}w₂ + ...a_{n + m}w_m pertence ao núcleo da transformação linear e pode ser escrito como: . Mas como já foi dito, os vetores na igualdade acima formam uma base de V e essa igualdade implica que todos os escalares são nulos. Então, {T(w₁),T(w₂),...,T(w_m)} são L.I. e formam uma base de Im(T), ou seja, dim(Im(T))=m. Daí, temos um importante teorema:

[editar] Tipos especiais de transformações lineares

Uma transformação T:V→W é chamada de injetora se, para v₁ e v₂ em V:

Significa dizer que não existem no domínio de T dois vetores distintos com a mesma imagem. Isto tem uma conseqüência importante para o núcleo da transformação. Como já foi dito, para qualquer transformação linear, T(0)=0. Se T é injetora e para algum vetor v no seu domínio tivermos T(v)=0, então:

, logo 0 é o único vetor no núcleo de T, ou seja, ker(T)={0}. A recíproca é verdadeira. Se para a transformação T:V→W tivermos ker(T)={0}, então, para quaisquer vetores v₁ e v₂ tais que T(v₁)=T(v₂), teremos:
Mas, como ker(T)={0}, temos que e T será injetora.

Uma transformação T:V→W é chamada de sobrejetora se, . Isto é equivalente a afirmar que Im(T)=W. Denomina-se bijetora uma transformação linear que é sobrejetora e injetora simultaneamente. Essas transformações também são chamadas de isomorfismos, e seu domínio e contradomínio são chamados espaços vetoriais isomorfos. Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial "nele mesmo", ou seja, uma transformação que tenha seu domínio igual ao contradomínio (do tipo T:V→V).

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