Logarytm

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Wykres logarytmu dziesiętnego

W matematyce logarytm jest wykładnikiem potęgi, do której należy podnieść stałą wartość podstawową, aby otrzymać daną liczbę. Logarytmowanie jest operacją odwrotną do potęgowania.

Spis treści

1 Formalna definicja
2 Funkcja logarytmiczna
3 Zapis
4 Prawa
- 4.1 Zależności między logarytmami o różnych podstawach
5 Zastosowania
6 Logarytm dyskretny
7 Zobacz też

[edytuj] Formalna definicja

Logarytm o podstawie a liczby dodatniej b to wykładnik c potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać liczbę b:

$\log_a{b} = c \iff a^c=b$ ,

Liczbę b nazywa się liczbą logarytmowaną. Zakłada się, że a i b są liczbami dodatnimi oraz $a \neq 1$ . Liczby a i b mogą być ujemne (w ogólnym przypadku zespolone), ale logarytm wówczas będzie wieloznaczny.

Z określenia logarytmu natychmiast wynika, że potęga o podstawie a i wykładniku $log a b$ jest równa b:

$a^{\log_a{b}} = b$

Liczbę przeciwną do logarytmu nazywało się kologarytmem i oznacza clg lub colog. Dzisiaj po prostu pisze się $- log x$ . Wyrażenie to występuje np. w chemii przy określaniu pH.

[edytuj] Funkcja logarytmiczna

Zobacz więcej w osobnym artykule: funkcja logarytmiczna.

Często logarytm utożsamia się z funkcją logarytmiczną - funkcją określoną wzorem $f (x) = log a x$ .

Można ją zdefiniować także jako funkcję odwrotną funkcji wykładniczej.

[edytuj] Zapis

Zapis bez indeksu log x nie jest jednoznaczny. W różnych dziedzinach może oznaczać logarytm naturalny, dziesiętny, binarny lub o nieistotnej dodatniej podstawie (w teorii złożoności obliczeniowej). Dlatego, gdy podstawa nie wynika z kontekstu użycia, należy używać zapisu jednoznacznego:

logarytm dziesiętny — $log 10 x = log x$ ;
logarytm naturalny — $log e x = ln x$ ;
logarytm binarny — $log 2 x = lg x$ ;
logarytm o podstawie a — $log a x$ .

[edytuj] Prawa

Prawa działań na logarytmach wynikają z praw dotyczących wyrażeń potęgowych:

każda liczba dodatnia i liczba ujemna posiada logarytm. Logarytmy liczb dodatnich sa liczbami rzeczywistymi z przedzialu +/- nieskończoność, a logarytmami liczb ujemnych sa liczby zespolone (np. :logarytm naturalny z (-1)} jest rowny $\pi\cdot i$ : $\log_{e}(-1)=\pi\cdot i$ , czyli $e^{\pi\cdot i} = -1$ o czym więcej w temacie Wzór Eulera. Zero logarytmu nie posiada;
logarytm jedności równa się zero:

log a (1) = 0

logarytm danej liczby dąży do minus nieskończoności, gdy liczba ta dąży do zera, przy podstawie logarytmu większej od jedności:

$\log_a {x}\to-\infty$ , gdy $x\to0$ , przy a > 1;

logarytm danej liczby dąży do plus nieskończoności, gdy liczba ta dąży również do plus nieskończoności, przy podstawie logarytmu większej od jedności:

$\log_a {x}\to+\infty$ , gdy $x\to+\infty$ , przy a > 1;

logarytm danej liczby dąży do plus nieskończoności, gdy liczba ta dąży do zera, przy podstawie logarytmu większej od zera a mniejszej od jedności:

$\log_a {x}\to+\infty$ , gdy $x\to0$ , przy 0 < a < 1;

logarytm danej liczby dąży do minus nieskończoności, gdy liczba ta dąży do plus nieskończoności, przy podstawie logarytmu większej od zera a mniejszej od jedności:

$\log_a {x}\to-\infty$ , gdy $x\to+\infty$ , przy 0 < a < 1;

logarytm podstawy logarytmu równa się jedności:

log a a = 1

logarytm iloczynu dwóch lub kilku czynników równa się sumie logarytmów poszczególnych czynników:

$\log_a(b \cdot c)=\log_a{b} + \log_a{c}$

logarytm ilorazu dwóch liczb równa się różnicy logarytów dzielnej i dzielnika:

$\log_a\frac{b}{c} = \log_a{b} - \log_a {c}$

logarytm liczby w danej potędze równa się iloczynowi wykładnika potęgi i logarytmu tej liczby:

$\log_a b^c=c\cdot \log_a{b}$

$\log_a \sqrt[n]{x^c} = \frac{c}{n} \log_a{x}$

logarytm o podstawie w formie potęgowej aⁿ równa się iloczynowi odwrotności potęgi n i logarytmowi o podstawie a

$\log_{a^n} b= \frac{1}{n} \log_{a} b$

[edytuj] Zależności między logarytmami o różnych podstawach

iloraz logarytmów dwóch liczb (b, a) przy jednakowej podstawie (c) równa się logarytmowi pierwszej liczby (b) przy podstawie równej drugiej liczbie (a):

$\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}} = \log_a{b}$

jeśli jedna liczba logarytmowana jest równa podstawie logarytmu drugiej liczby logarytmowanej i odwrotnie, to iloczyn tych liczb równa się jedności:

$\log_a{x}\cdot \log_x{a}=1$ ,

$\ln{10}\cdot \log{e} =1$

[edytuj] Zastosowania

Dawniej logarytmy były używane do szybkiego mnożenia liczb. Dzisiaj, z powodu wyparcia przez kalkulatory i komputery znacznie rzadziej używa się tablic logarytmicznych.

Najczęściej spotykamy logarytmy:

logarytm dziesiętny, zwany logarytmem Briggsa (o podstawie 10),
logarytm naturalny, zwany logarytmem Napiera (o podstawie e),
logarytm binarny (a. dwójkowy) (o podstawie 2).

[edytuj] Logarytm dyskretny

Zobacz więcej w osobnym artykule: logarytm dyskretny.

Potęgowanie można określić w grupie skończonej. Można wtedy stworzyć działanie analogiczne do logarytmowania liczb.

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../l/o/g/Logarytm.html"

Kategoria: Analiza matematyczna

Logarytm

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Formalna definicja

[edytuj] Funkcja logarytmiczna

[edytuj] Zapis

[edytuj] Prawa

[edytuj] Zależności między logarytmami o różnych podstawach

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Logarytm dyskretny

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

techniczne

zmiany

Szukaj

W innych językach