Traagheidsmoment

Een object dat rond een as draait, verzet zich als het ware tegen verandering van de draaisnelheid. De mate waarin dit gebeurt wordt uitgedrukt in het traagheidsmoment ten opzichte van die draaias. Om de snelheid van draaien te veranderen moet een koppel worden uitgeoefend. De verhouding tussen dit koppel en de resulterende hoekversnelling is het traagheidsmoment ten opzichte van de draaias.

$\vec{T}=I \vec{\alpha}$

waarin:

$\vec{T}$ : koppel [N.m]
I: traagheidsmoment [kg.m²]
$\vec{\alpha}$ : hoekversnelling [rad/s²]

Het traagheidsmoment is het analogon van het begrip massa dat de mate van verzet tegen versnelling uitdrukt, weegegeven in de tweede wet van Newton: $\vec{F}=m \vec{a}$ . Het traagheidsmoment is dan ook afhankelijk van de massa. Het traagheidsmoment is tevens afhankelijk van de verdeling van deze massa, hoe verder de massa verwijderd is van de draaias, hoe groter het traagheidsmoment. Voor massapunten m_i op resp. afstanden r_i van de draaias is het traagheismoment I:

$I = \sum_{i} m_ir_i^2$ .

Nu zijn massapunten slechts idealiseringen en wordt een object beschreven door z'n massaverdeling m of equivalent door de massadichtheid ρ. Het traagheidsmoment is dan gegeven door:

$\, I=\int_V r^2 dm = \int_V r^2\rho dV$

waarbij r steeds de afstand tot de draaias voorstelt.

Inhoud

1 Relatie tot het impulsmoment
2 Traagheidsmoment als tensor
3 Traagheidsmomenten van diverse lichamen
4 Oppervlaktetraagheidsmoment

[bewerk] Relatie tot het impulsmoment

Het impulsmoment van een star, roterend object verandert volgens

$\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{T}$

met de relatie tussen de hoekversnelling en hoeksnelheid $\vec{\omega}$

$\vec{\alpha}=\frac{d \vec{\omega}}{dt}$

volgt door gelijkstellen aan de uitdrukking voor het koppel

$\vec{L}=I\vec{\omega}$

waarin:

$\vec{L}$ : impulsmoment [N.m.s]
$t$ : tijd [s]
$\vec{T}$ : koppel [N.m]
$\vec{\alpha}$ : hoekversnelling [rad/s²]
$\vec{\omega}$ : hoeksnelheid [rad/s]

Zie ook rotatie_(eendimensionaal)

[bewerk] Traagheidsmoment als tensor

Als men uitgaat van een bepaalde draaias, zoals in bovenstaande uitdrukking voor het impulsmoment, dan is het traagheidsmoment een scalair. In dat geval is het impulsmoment parallel gericht is aan de draaisnelheid en daarmee aan de draaias.

Een object dat langs meerdere assen kan draaien heeft in principe voor elke draaias een ander traagheidsmoment. Door het impulsmoment en de hoeksnelheid uit te drukken als een vector en het traagheidsmoment als een tensor, kan men het traagheidsmoment voor elke willekeurige draairichting in één grootheid uitdrukken:

$\vec{L}=I \cdot \vec{\omega}$

Deze 'traagheidstensor' kan voor bewegingen in drie dimensies geschreven worden als een matrix bestaande uit 3x3=9 getallen en geeft dan informatie over het traagheidmoment langs alle mogelijke assen.

Zie ook rotatie (algemeen)

[bewerk] Traagheidsmomenten van diverse lichamen

Afbeelding	Beschrijving	Traagheidsmoment(en)
	Een puntmassa op afstand $r$ van de draaias.	$I = m \cdot r^2$
	Een cilindermantel die om zijn symmetrieas draait.	$I = m \cdot r^2$
	Een massieve cilinder die om zijn symmetrieas draait.	$I = {1 \over 2} m \cdot r^2$
	Een holle cilinder, die om zijn symmetrieas draait.	$I = {1 \over 2} m \cdot (r_2^2+r_1^2)$
	Een massieve cilinder, waarbij de draaias loodrecht op de symmetrieas ligt.	$I = {1 \over 4} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2$
	Een cilindermantel, waarbij de draaias loodrecht op de symmetrieas ligt.	$I = {1 \over 2} m \cdot r^2 + {1 \over 12} m \cdot l^2$
	Een dunne staaf die draait om de symmetrieas. (Merk op dat deze formule een benadering is van de cilinder met de aanname dat $r\ll l$ )	$I = {1 \over 12} m \cdot l^2$
	Een dunne staaf die draait om zijn uiteinde.	$I = {1 \over 3} m \cdot l^2$
	Een holle bol, met draaias door het middelpunt.	$I = {2 \over 3} m \cdot r^2$
	Een massieve bol, met draaias door het middelpunt.	$I = {2 \over 5} m \cdot r^2$
	Een dunne plaat met lengtes a en b, met draaias loodrecht op de plaat.	$I = {1 \over 12} m \cdot (a^2 + b^2)$
	Dunne schijf, straal r en massa m.	$I_z = \frac{1}{2} mr^2$ $I_x = I_y = \frac{1}{4} m(r^2)$
	Circulaire kegel, straal r, hoogte h, en massa m.	$I_z = (3/10)mr^2 \,\!$ $I_x = I_y = (3/5)m(r^2/4+h^2) \,\!$
	vol prisma, hoogte h, breedte b, diepte d en massa m.	$I_h = \frac{1}{12} m(b^2+d^2)$ $I_b = \frac{1}{12} m(h^2+d^2)$ $I_d = \frac{1}{12} m(h^2+b^2)$

[bewerk] Oppervlaktetraagheidsmoment

De term traagheidsmoment wordt ook wel gebruikt voor het oppervlaktetraagheidsmoment dat de weerstand tegen doorbuiging bepaalt. Het oppervlaktetraagheidsmoment (dimensie m⁴) wordt gebruikt bij sterkteberekeningen aan constructies.

Categorieën: Werktuigbouwkunde | Mechanica

Traagheidsmoment

Inhoud

[bewerk] Relatie tot het impulsmoment

[bewerk] Traagheidsmoment als tensor

[bewerk] Traagheidsmomenten van diverse lichamen

[bewerk] Oppervlaktetraagheidsmoment

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen