Spinore di Dirac

Lo spinore di Dirac è un quadrivettore soluzione dell'equazione di Dirac le cui componenti sono funzioni d'onda.

Nel caso di particella ferma, quattro possibili soluzioni linearmente indipendenti sono

$\psi^{(1, 2)} = \operatorname e^{-imt} \hat e^{(1, 2)}$

$\psi^{(3, 4)} = \operatorname e^{imt} \hat e^{(1, 2)}$

dove eⁱ sono i vettori della base ortonormale di uno spazio a 4 dimensioni. Le prime due soluzioni sono ad energia positiva, le altre due ad energia negativa.

In un campo elettromagnetico, la soluzione dell'equazione si scrive come composta da due sotto-vettori di dimensione due detti spinori di Pauli:

$\psi = {\tilde{\varphi} \choose \tilde{\chi}}$

Sono inoltre detti spinori di Dirac (o di Lorentz) tutte quelle funzioni che si trasformano secondo la trasformazione di Lorentz

$S (g + \operatorname d \omega) = I + i \frac {\operatorname d \omega}{4} \sigma_{\mu \nu} I^{\mu \nu}$

lasciando invariata l'equazione di Dirac.

In tale equazione le σ non sono matrici di Pauli, ma sono definite a partire del commutatore tra le γ:

$\sigma_{\mu \nu} = \frac {i}{2} \left [ \gamma_\mu , \gamma_\nu \right ]$

Infine, utilizzando anche le gamma di Dirac, è possibile definire con lo spinore una quadricorrente:

$j^\mu (x) = \bar {\psi} (x) \gamma^\mu \psi (x)$

dove

$\bar {\psi} (x) = \psi^{\dagger} (x) \gamma^0$

$\psi^{\dagger} (x) = \left ( \tilde{\varphi}^{*} , \tilde{\chi}^{*} \right )$

Tale spinore, sotto trasformazione di Lorentz, si trasforma in questo modo:

$\bar {\psi} (x) \rightarrow \bar {\psi} (x) S^{-1}$

$\int \psi^{\dagger} (x) \psi (x) \operatorname {d}^3 x = 1$

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