Polinomio di Bernoulli

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In matematica, i polinomi di Bernoulli si incontrano nello studio di molte funzioni speciali e in particolare della funzione zeta di Riemann e della funzione zeta di Hurwitz. Questo in gran parte è dovuto al fatto che essi costituiscono la sequenza di Sheffer relativa all'ordinario operatore di derivazione. Contrariamente alle successioni di polinomi ortogonali, la successione dei polinomi di Bernoulli è caratterizzata dal fatto che il numero delle intersezioni con l'asse delle x nell'intervallo unitario non cresce illimitatamente al crescere del grado dei polinomi. Al crescere del grado i polinomi di Bernoulli, sottoposti ad appropriate omotetie, approssimano le funzioni seno e coseno.

Indice

1 Funzioni generatrici
2 Caratterizzazione mediante un operatore differenziale
3 Formula esplicita
4 I numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero
5 Espressioni esplicite per i polinomi dei gradi minori
6 Differenze
7 Derivate
8 Traslazioni
9 Simmetrie
10 Serie di Fourier
11 Inversione
12 Collegamento con i fattoriali decrescenti
13 Teoremi di moltiplicazione
14 Integrali
15 Bibliografia

[modifica] Funzioni generatrici

La funzione generatrice dei polinomi di Bernoulli è

$\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}$ .

La funzione generatrice dei polinomi di Eulero è invece

$\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty E_n(x) \frac{t^n}{n!}.$

[modifica] Caratterizzazione mediante un operatore differenziale

I polinomi di Bernoulli si possono anche definire come

$B_n(x) := {D \over e^D -1} x^n$

dove D := d/dx denota la differenziazione rispetto alla x e la frazione va sviluppata come serie formale di potenze.

[modifica] Formula esplicita

Una formula esplicita per i polinomi di Bernoulli è la seguente

$B_m(x) = \sum_{n=0}^m \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (x+k)^m$ .

Si osserva la rilevante somiglianza con l'espressione mediante la serie globalmente convergente per la funzione zeta di Hurwitz. In effetti si ha

B n (x) = - n ζ(1 - n, x)

dove $ζ(s, q)$ denota la zeta di Hurwitz; in un certo senso, la zeta di Hurwitz estende i polinomi di Bernoulli ai valori non interi della n.

Una formula esplicita per i polinomi di Eulero è data da

$E_m(x) = \sum_{n=0}^m \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (x+k)^m$ .

[modifica] I numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero

I numeri di Bernoulli sono dati da $\, B_n = B_n(0)$ .

A loro volta i numeri di Eulero sono dati da $\, E_n = 2^nE_n(1/2)$ .

[modifica] Espressioni esplicite per i polinomi dei gradi minori

I primi componenti della successione dei polinomi di Bernoulli sono:

$B_0(x)=1\,$

$B_1(x)=x-1/2\,$

$B_2(x)=x^2-x+1/6\,$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\,$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}\,$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x\,$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}\,$ .

I polinomi di Eulero dei gradi più bassi sono invece

$E_0(x)=1\,$

$E_1(x)=x-1/2\,$

$E_2(x)=x^2-x\,$

$E_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{4}\,$

$E_4(x)=x^4-2x^3+x\,$

$E_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{2}x^2-\frac{1}{2}\,$

$E_6(x)=x^6-3x^5+5x^3-3x.\,$

[modifica] Differenze

I polinomi di Bernoulli e quelli di Eulero ubbidiscono molte relazioni fornite dal calcolo umbrale:

$B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1} \,$

$E_n(x+1)+E_n(x)=2x^n \,$ .

[modifica] Derivate

Ciascuna delle due successioni di polinomi è una sequenza polinomiale e più precisamente una sequenza di Appel:

$B_n'(x)=nB_{n-1}(x) \,$

$E_n'(x)=nE_{n-1}(x) \,$ .

[modifica] Traslazioni

$B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k}$

$E_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} E_k(x) y^{n-k}$

Queste identità sono equivalenti ad affermare che ciascuna di queste sequenze polinomiali è una sequenza di Appel. (Un altro esempio di queste sequenze è fornito dai polinomi di Hermite.)

[modifica] Simmetrie

$B_n(1-x)=(-)^n B_n(x) \,$

$E_n(1-x)=(-)^n E_n(x) \,$

$(-)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1} \,$

$(-)^n E_n(-x) = -E_n(x) + 2x^n \,$ .

[modifica] Serie di Fourier

La serie di Fourier dei polinomi di Bernoulli è anche una serie di Dirichlet e un caso speciale di funzione zeta di Hurwitz

$B_n(x) = -\Gamma(n+1) \sum_{k=1}^\infty \frac{ \exp (2\pi ikx) + \exp (2\pi ik(1-x)) } { (2\pi ik)^n }.$

[modifica] Inversione

Può essere utile esprimere le potenze della variabile come combinazioni lineari dei polinomi di Bernoulli. Specificamente si ha

$x^n = \frac {1}{n+1} \sum_{k=0}^n {n+1 \choose k} B_k (x)$ .

Queste uguaglianze e le espressioni esplicite dei polinomi di Bernoulli vanno viste come le identità di collegamento tra le due basi dello spazio vettoriale dei polinomi fornite dalle potenze della variabile e dai polinomi di Bernoulli.

[modifica] Collegamento con i fattoriali decrescenti

Un'altra coppia di successioni di identità di collegamento fra basi dello spazio vettoriale dei polinomi riguarda i polinomi di Bernoulli e i fattoriali decrescenti. I polinomi di Bernoulli sono espressi come combinazioni lineari di fattoriali decrescenti $(x) k$ dalle

$B_{n+1}(x) = B_{n+1} + \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{k+1} \left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} (x)_{k+1}$

dove $\,B_n:=B_n(0)\,$ e

$\left\{ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\} = S(n,k)$

denota il numero di Stirling di seconda specie. Viceversa i fattoriali decrescenti sono espressi come combinazioni lineari di polinomi di Bernoulli:

$(x)_{n+1} = \sum_{k=0}^n \frac{n+1}{k+1} \left[ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right] \left(B_{k+1}(x) - B_{k+1} \right)$

dove

$\left[ \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right] = s(n,k)$

denota il numero di Stirling di prima specie.

[modifica] Teoremi di moltiplicazione

Questi teoremi di moltiplicazione sono stati dati da Joeseph Ludwig Raabe nel 1851:

$B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)$

$E_n(mx)= m^n \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k E_n \left(x+\frac{k}{m}\right) \quad \mbox{ for } m=1,3,...$

$E_n(mx)= \frac{-2}{n+1} m^n \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k B_{n+1} \left(x+\frac{k}{m}\right) \quad \mbox{ for } m=2,4,...$

[modifica] Integrali

Integrali indefiniti

$\int_a^x dt\; B_n(t) = \frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}$

$\int_a^x dt\; E_n(t) = \frac{E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}$

Integrali definiti

$\int_0^1 dt\; B_n(t) B_m(t) = (-1)^{n-1} \frac{m! n!}{(m+n)!} B_{n+m} \quad \mbox { for } m,n \ge 1$

$\int_0^1 dt\; E_n(t) E_m(t) = (-1)^{n} 4 (2^{m+n+2}-1)\frac{m! n!}{(m+n+2)!} B_{n+m+2}$

[modifica] Bibliografia

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover (Vedi Chapter 23)

Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Chapter 12.11)

Jesus Guillera, Jonathan Sondow, Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent (2005) (Rassegna della relazione tra funzione zeta di Hurwitz e funzione transcendente di Lerch.)

Polinomi speciali

Polinomi di Hermite · Polinomi di Legendre · Polinomi di Jacobi · Polinomi di Gegenbauer · Polinomi di Chebyshev · Polinomio di Bernoulli · Polinomi ortogonali · Sequenza di Sheffer

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