Indice di rifrazione

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**Indice di rifrazione per alcuni materiali**
Materiale	n a λ=589,3 nm
elio	1,000 036
aria in condizioni normali	1,000 292 6
anidride carbonica	1,000 45
ghiaccio	1,31
acqua (20°C)	1,333
etanolo	1,36
glicerina	1,472 9
sale	1,516
bromo	1,661
vetro (tipico)	da 1,5 a 1,9
diamante	2,419
silicio	3,4
fosfuro di gallio	3,5

L'indice di rifrazione di un materiale è un parametro macroscopico, solitamente indicato col simbolo n, che rappresenta il fattore numerico per cui la velocità di propagazione di una radiazione elettromagnetica viene rallentata, rispetto alla sua velocità nel vuoto, quando questa attraversa un materiale.

Essendo funzione della lunghezza d'onda della radiazione elettromagnetica e della natura del materiale attraversato, la sua misura in condizioni controllate può essere usata per identificare il materiale stesso. Ad esempio in chimica vengono comunemente effettuate misure dell'indice di rifrazione con lo scopo di trarne indicazioni analitiche. In funzione dei parametri solvente, lunghezza d'onda incidente e temperatura, si effettua la misura del parametro utilizzando un rifrattometro. Questa metodica analitica viene utilizzata in vari campi: in campo medico per analisi del sangue e delle urine, in ambito industriale nell'analisi dei materiali, per determinare la concentrazione zuccherina in succhi di frutta o il grado alcolico di bevande, per certificare il livello qualitativo o evidenziare sofisticazioni di alimenti quali l'olio, il latte e il burro.

[modifica] Derivazione dell'indice di rifrazione

Le equazioni di Maxwell in un materiale possono essere scritte come:

$\vec \nabla \cdot \vec D = \rho$

$\vec \nabla \times \vec E = -\frac {\partial \vec B}{\partial t}$

$\vec \nabla \cdot \vec B = 0$

$\vec \nabla \times \vec H = \vec J + \frac {\partial \vec D}{\partial t}$

assieme alle cosiddette equazioni costitutive:

$\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P$

$\vec B = \mu_0 \vec H + \vec M$

che descrivono la reazione nel mezzo alla presenza di un campo elettromagnetico.
Per risolvere queste equazioni è necessario formulare delle ipotesi (che rappresentano inevitabilmente un'approssimazione) sulla dipendenza di $\vec P$ e $\vec M$ da $\vec E$ e da $\vec B$ . Assumendo che il mezzo sia amagnetico (ovvero $\vec M = 0$ ) un'approssimazione al primo ordine è che la polarizzazione del mezzo sia lineare con il campo elettrico ovvero che $\vec P = \epsilon_0 \chi \vec E$ . Questa è un'ottima approssimazione a meno che non si considerino campi estremamente intensi come quelli che si possono ottenere con un laser; quando questa approssimazione non è più valida si entra nel regime dell'ottica non lineare.
Per risolvere le equazioni di Maxwell assumiamo anche che non ci siano cariche libere (ovvero che $ρ = 0$ e $J = 0$ ). Possiamo quindi riscrivere le equazioni come:

$\vec \nabla \cdot \left( \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi \vec E \right) = \vec \nabla \cdot \left( \epsilon_0 \vec E \left( 1 + \chi \right) \right) = 0$

$\vec \nabla \times \vec E = -\frac {\partial \vec B}{\partial t}$

$\vec \nabla \cdot \vec B = 0$

$\vec \nabla \times \vec B = \frac {\partial}{\partial t} \left( \epsilon_0 \mu_0 \vec E \left( 1 + \chi \right) \right)$

derivando rispetto al tempo la quarta equazione e facendo il rotore della seconda si ottiene:

$\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec E =\vec \nabla \times( -\frac {\partial \vec B}{\partial t})$

$\frac {\partial}{\partial t}(\vec \nabla \times \vec B) = \frac {\partial^2}{\partial t^2} \left( \epsilon_0 \mu_0 \vec E \left( 1 + \chi \right) \right)$

Uguagliando il rotore della derivata nel tempo di B con la derivata nel tempo del rotore di B (ovviamente uguali) si ha:

$\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec E =- \frac {\partial^2}{\partial t^2} \left( \epsilon_0 \mu_0 \vec E \left( 1 + \chi \right) \right)$

La prima equazione implica che la divergenza del campo elettrico è nulla. Dall'analisi differenziale è noto che per un generico vettore $\vec A$ si ha:

$\vec \nabla \times \vec \nabla \times \vec A = \vec \nabla (\vec \nabla \cdot \vec A) - \nabla^2 A$

Da queste segue che il rotore del rotore del campo elettrico è pari all'opposto del laplaciano del campo stesso:

$\nabla^2 E - \epsilon_0 \mu_0 \left( 1 + \chi \right) \frac {\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = 0$

Ricordandosi che la velocità della luce può essere scritta come $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \,\cdot \mu_0}}$ questa diventa

$\nabla^2 E - \frac {1 + \chi}{c^2} \frac {\partial^2 \vec E}{\partial t^2} = 0$

ossia l'equazione di un'onda che si propaga, non a velocità c ma ad una velocità di fase inferiore pari a

$v = \frac {c} {\sqrt{1 + \chi} }$

Il fattore $\sqrt{1 + \chi}$ è chiamato indice di rifrazione.

[modifica] La legge di rifrazione

A partire dalle equazioni di Maxwell è possibile dimostrare, sfruttando il fatto che il campo elettrostatico è conservativo, che passando da un mezzo ad un altro la componente del campo elettrico tangente all'interfaccia è continua. Se i due mezzi hanno un diverso indice di rifrazione (che chiameremo n₁ e n₂) la velocità della radiazione deve cambiare da $\frac {c} {n_1}$ a $\frac {c} {n_2}$ . Dato che la componente tangenziale del vettore d'onda k deve essere continua sull'interfaccia si ha che $k_1 \sin \alpha = k_2 \sin \beta \;$ ovvero $n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta \;$ . Questa relazione è nota come legge di Snell.

[modifica] La dispersione

In tutti i sistemi reali l'indice di rifrazione varia con la frequenza dell'onda. Per questo motivo la legge di Snell prevede che onde a frequenze diverse vengano rifratte ad angoli diversi. Un esempio ben noto di questo fenomeno è il fatto che la luce bianca viene scomposta da un prisma. Un altro effetto è che le varie componenti di un pacchetto d'onda si propagano a velocità diverse in un mezzo materiale; questo porta alla deformazione degli impulsi brevi ed è uno dei principali limiti alla trasmissione di segnali attarverso le fibre ottiche.

[modifica] L'assorbimento

Quando un materiale presenta assorbimento non è più possibile descrivere l'indice di rifrazione tramite un numero reale ma bisogna definire un indice di rifrazione complesso

$\textbf{n} = n - i k$

dove n definisce la velocità di fase con cui si propaga l'onda (come sopra) e k è il coefficiente di assorbimento del sistema.

L'assorbimento è strettamente legato al fenomeno della dispersione. Infatti la dipendenza con la frequenza di n e k non son indipendenti ma sono legate dalla relazione di Kramers-Kronig.

In alcune condizioni particolari (ad esempio vicino a delle risonanze dell'assorbimento) è possibile che n sia minore di 1. In questi casi la velocità di fase può essere superiore alla velocità della luce. Questo però non viola la relatività ristretta perché la velocità del segnale è la velocità di gruppo la quale rimane sempre inferiore a c.

[modifica] La birifrangenza

Nei materiali anisotropi la polarizzazione $\vec P$ non dipende solo dall'intensità del campo elettrico ma anche dalla sua polarizzazione, ovvero la costante dielettrica non è uguale sui tre assi del sistema di riferimento. Di conseguenza la costante dielettrica non può più essere descritta tramite uno scalare ma deve essere rappresentato tramite una matrice (o, più formalmente, tramite un tensore). In questo caso si ha il fenomeno detto di birifrangenza dove fasci di luce con polarizzazione diversa ed incidenti ad angoli diversi vedono un indice di rifrazione diverso e quindi vengono rifratti in direzioni diverse. Storicamente questo fenomeno è stato osservato per la prima volta nella calcite.

La birifrangenza è molto sfruttata sia nell'ottica non lineare che per la realizzazione di dispositivi elettro-ottici.

[modifica] Indice di rifrazione negativo

Nel caso in cui sia $ε$ che $μ$ siano negativi la soluzione corretta delle equazioni di Maxwell impone che si debba scegliere, come indice di rifrazione, la radice negativa e quindi $n = - \sqrt{\epsilon \cdot \mu}$ . Questa condizione non viene mai raggiunta nei materiali reali ma è stata dimostrata la possibilità di usare dei metamateriali per ottenerla.

[modifica] Limiti dell'indice di rifrazione

L'indice di rifrazione è un'ottima approssimazione in moltissimi casi di uso pratico ma rimane un'approssimazione del reale comportamento delle onde elettromagnetiche. Esistono casi (molti dei quali studiati dalla microfotonica) in cui non è possibile definire un indice di rifrazione.