Funzione gradino di Heaviside

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La funzione gradino di Heaviside, usando la convenzione della metà del massimo

La funzione gradino di Heaviside, chiamata anche funzione gradino unitaria e nominata in onore di Oliver Heaviside, é una funzione discontinua che ha valore zero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi:

$\Theta(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$

Spesso, in luogo di $Θ(x)$ , si usano le notazioni $δ ( - 1) (x)$ , $u (x)$ o $h (x)$ , o ancora, con abuso di notazione, $1(x)$ .

La funzione é usata nella matematica della teoria del controllo e nell'elaborazione dei segnali per rappresentare un segnale che si attiva a partire da un tempo specificato e rimane attivo indefinitamente.

É la funzione di ripartizione di una variabile casuale che é quasi sicuramente 0. (Vedi variabile casuale costante.)

La funzione di Heaviside é l'integrale della Delta di Dirac.

$\Theta(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)}dt$

Il valore di $Θ(0)$ é occasionalmente un valore discusso. Alcuni scrittori assumono $Θ(0)$ = 0, altri $Θ(0)$ = 1. $Θ(0)$ = 1/2 rimane comunque la scelta più utilizzata, perché permette di ridefinire la funzione di heavyside attraverso la funzione segno. Questo ne da una definizione più generale:

$\Theta(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$