Kolmnurk

See artikkel räägib kujundist; tähtkuju kohta vaata artiklit Kolmnurk (tähtkuju)

Kolmnurk on elementaargeomeetrias (eukleidilises geomeetrias) kolme tipuga hulknurk.

Kolmnurk on määratud eukleidilise ruumi kolme punktiga, mis ei asu ühel ja samal sirgel. Neid punkte nimetatakse kolmnurga tippudeks. Kolmnurk on kujund, mille moodustavad kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud. Neid sirglõike nimetatakse kolmnurga külgedeks.

Osutub, et kolmnurk asub ühel tasandil: tegemist on tasapinnalise kujundiga. Kolmnurga defineerimisel võib ka kohe tingimuseks seada, et kolmnurga tipud oleksid ühel tasandil.

Mõnikord loetakse kolmnurka kuuluvaks ka kolmnurga tippudega määratud tasandi osa, mis on piiratud kolmnurga külgedega. Sel juhul kuulub selle tasandi punkt kolmnurka siis ja ainult, kui ta asub mõnel sirglõigul, mis ühendab kaht punkti, millest kumbki asub selle kolmnurga mõnel küljel.

Lisaks sellele elementaargeomeetria mõistele on matemaatikas kasutusel ka üldistatud ja modifitseeritud kolmnurgamõisteid.

Sisukord

1 Kolmnurga omadused elementaargeomeetrias
- 1.1 Kolmnurga nurgad
- 1.2 Kolmnurga küljed
2 Kolmnurga liigid
3 Trigonomeetrilised funktsioonid

[redigeeri] Kolmnurga omadused elementaargeomeetrias

Kolmnurk on tasapinnaline kujund.

[redigeeri] Kolmnurga nurgad

Igas kolmest tipust moodustavad kaks sirglõiku nurga. Vähemalt kaks neist on teravnurgad. Kui kolmas on ka teravnurk, nimetatakse kolmnurka teravnurkseks kolmnurgaks. Kuid üks nurk võib olla ka täisnurk või nürinurk. Kolmnurka nimetatakse siis vastavalt täisnurkseks või nürinurkseks kolmnurgaks.

Kolmnurga sisenurkade summa on alati 180 kraadi (180°) ehk π radiaani (π rad).

Kolmnurga nurki tähistatakse tavaliselt kreeka tähtedega α, β ja γ. Kui tegemist on täisnurkse kolmnurgaga, on tähistatakse täisnurka tavaliselt tähega γ ning teravnurki tähtedega α ja β.

[redigeeri] Kolmnurga küljed

Kolmnurga küljed on kolmnurga tippe ühendavad sirglõigud, mis üksteisega moodustavad nurki.

Kolmnurga kahe suvalise külje pikkuste summa on alati suurem kolmanda külje pikkusest. Kolmnurga külgi tähistatakse tavaliselt tähtedega a, b ja c.

[redigeeri] Kolmnurga liigid

[redigeeri] Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on täisnurk ehk 90° = π/2 rad. Täisnurkse kolmnurga täisnurga moodustavad küljed on kaatetid ja üle jääv külg on hüpotenuus. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi tähistatakse tavaliselt tähega c ning kaateteid tähtedega a ja b.

Hüpotenuus on alati pikem mõlemast kaatetist. Hüpotenuusi lähisnurgad on väiksemad täisnurgast ja nende summa võrdub täisnurgaga.

Vastavalt Pythagorase teoreemile võrdub kaatetite ruutude summa hüpotenuusi ruuduga.

[redigeeri] Võrdhaarne kolmnurk

Võrdhaarne kolmnurk on kolmnurk, mille kaks külge on võrdse pikkusega. Võrdhaarse kolmnurga haaradeks nimetatakse kahte võrdset külge ja aluseks kolmandat külge. Tipunurgaks nimetatakse selle kolmnurga kahe võrdse külje vahelist nurka. Võrdhaarse kolmnurga kaht teist nurka nimetatakse alusnurkadeks. Võrdhaarse kolmnurga alusnurgad on võrdsed.

[redigeeri] Võrdkülgne kolmnurk

Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdse pikkusega. Võrdkülgse kolmnurga kõik nurgad on samuti võrdse suurusega 60° = π/3. Võrdkülgne kolmnurk on korrapärane hulknurk.

Nagu igasse korrapärasesse hulknurka, nii ka võrdkülgsesse kolmnurka joonistatud siseringjoone raadius võrdub apoteemiga. Võrdkülgse kolmnurga apoteemi pikkus on umbes 0,289 külje pikkust $(a*\sqrt{3}/6)$ , kus a on külje pikkus. Võrdkülgse kolmnurga ümberringjoone raadius on 2 korda suurem: umbes 0,577 külje pikkust $(a*\sqrt{3}/3)$ . Võrdkülgse kolmnurga sise- ja ümberringjoone keskpunkt ühtivad, muude kolmnurkade puhul see nii ei ole.