样条插值

维基百科，自由的百科全书

在数值分析这个数学分支中，样条插值是使用一种叫作样条的特殊分段多项式进行插值的形式。由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。

[编辑] 定义

假设有 n+1 个不同的节点 x_i

$x_0 < x_1 < ... < x_{n-1} < x_n, \,\!$

以及 n+1 个节点值 y_i，我们要找到一个 n 阶样条函数

$S(x) := \left\{\begin{matrix} S_0(x) & x \in [x_0, x_1] \\ S_1(x) & x \in [x_1, x_2] \\ \vdots & \vdots \\ S_{n-1}(x) & x \in [x_{n-1}, x_n] \end{matrix}\right.$

其中每个 S_i(x) 都是一个 k 阶的多项式。

[编辑] 样条插值

使用多项式插值，对给定数据集进行插值的 n 阶多项式就被给定数据点所唯一地定义出来。但是，对同样的数据进行插值的 n 阶样条并不是唯一的，为了构建一个唯一的样条插值式它还必须满足另外 n-1 个自由度。

[编辑] 线性样条插值

线性样条插值是最简单的样条插值。数据点使用直线进行连接，结果样条是一个多边形。

从代数的角度来看，每个 S_i 都是一个如下

$S_i(x) = y_i + \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x-x_i)$

的线性函数。样条在每个数据点都必须连续，即

$S_i(x_i) = S_{i+1}(x_i) \qquad \mbox{ , } i=1,\ldots n -1$

我们很容易得到

$S_{i-1}(x_i) = y_{i-1} + \frac{y_{i}-y_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}(x_i-x_{i-1}) = y_i$

$S_{i}(x_i) = y_i + \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}(x_i-x_i) = y_i$

所以以上论述成立。

[编辑] 二次样条插值

二次样条插值可以构建为

$S_i(x) = y_i + z_i(x-x_i) + \frac{z_{i+1}-z_i}{2(x_{i+1}-x_i)}(x-x_i)^2$

通过选择 $z 0$ ，然后用递推关系就可以得到系数：

$z_{i+1} = -z_i + 2 \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

[编辑] 三次样条插值

对于 n+1 个给定点的数据集 {x_i} ，我们可以用 n 段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果

$S(x)=\left\{\begin{matrix} S_0(x),\ x\in[x_0,x_1] \\ S_1(x),\ x\in[x_1,x_2]\\ \cdots \\ S_{n-1}(x),\ x\in[x_{n-1},x_n]\end{matrix}\right.$

表示对函数 f 进行插值的样条函数，那么需要：

插值特性，S(x_i)=f(x_i)
样条相互连接，S_i-1(x_i) = S_i(x_i), i=1,...,n-1
两次连续可导，S'_i-1(x_i) = S'_i(x_i) 以及 S''_i-1(x_i) = S''_i(x_i), i=1,...,n-1.

由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成 S的 n 个三次多项式来说，这就意味着需要 4n 个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了 n + 1 个条件，内部数据点给出 n + 1 − 2 = n − 1 个条件，总计是 4n − 2 个条件。我们还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。

其中一项选择条件可以得到给定 u 与 v 的钳位三次样条，

$S'(x_0) = u \,\!$

$S'(x_k) = v \,\!$

另外，我们可以设

$S''(x_0) = S''(x_n) = 0 \,\!$ .

这样就得到自然三次样条。自然三次样条几乎等同于样条设备生成的曲线。

在这些所有的二次连续可导函数中，钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数 f 的最小震荡。

如果选择另外一些条件，

$S(x_0) = S(x_n) \,\!$

$S'(x_0) = S'(x_n) \,\!$

$S''(x_0) = S''(x_n) \,\!$

可以得到周期性的三次样条。

如果选择，

$S(x_0) = S(x_n) \,\!$

$S'(x_0) = S'(x_n) \,\!$

$S''(x_0) = f'(x_0),\quad S''(x_n)=f'(x_n) \,\!$

可以得到complete三次样条。

[编辑] 三次样条的最小性

三次样条有另外一个非常重要的解释，实际上它是在索伯列夫空间 $H 2 ([a; b])$ 最小化函数

$J(f)=\int_a^b |f''(x)|^2 dx$

的函数。

函数 $J$ 包含对于函数 $f (x)$ 全部曲率 $\left|\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^2)^{\frac{3}{2}}}\right|$ 的近似，样条是 $f (x)$ 最小曲率的近似。

由于弹性条的总体能量与曲率成比例，所以样条是受到 $n$ 个点约束的弹性条的最小能量形状。样条也是基于弹性条设计的工具。

[编辑] 使用自然三次样条的插值

它可以定义为

$S_i(x) = \frac{z_{i+1} (x-x_i)^3 + z_i (x_{i+1}-x)^3}{6h_i} + \left(\frac{y_{i+1}}{h_i} - \frac{h_i}{6} z_{i+1}\right)(x-x_i) + \left(\frac{y_{i}}{h_i} - \frac{h_i}{6} z_i\right) (x_{i+1}-x)$

以及

$h_i = x_{i+1} - x_i \,\!$ .

通过解下面的方程可以得到它的系数。

$\left\{\begin{matrix} z_0 = 0 \\ h_{i-1} z_{i-1} + 2(h_{i-1} + h_i) z_i + h_i z_{i+1} = 6 \left( \frac{y_{i+1}-y_i}{h_i} - \frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}} \right) \\ z_n = 0 \end{matrix}\right.$

[编辑] 示例

[编辑] 线性样条插值

假设要为带有节点

$(x_0,f(x_0)) = (x_0,y_0) = \left(-1,\ e^{-1}\right) \,\!$

$(x_1,f(x_1)) = (x_1,y_1) = \left(-\frac{1}{2},\ e^{-\frac{1}{4}}\right) \,\!$

$(x_2,f(x_2)) = (x_2,y_2) = \left(0,\ 1\right) \,\!$

$(x_3,f(x_3)) = (x_3,y_3) = \left(\frac{1}{2},\ e^{-\frac{1}{4}}\right) \,\!$

$(x_4,f(x_4)) = (x_4,y_4) = \left(1,\ e^{-1}\right) \,\!$

的函数

$f(x) = e^{-x^2}$

找一个线性样条。直接代入样条公式，我们得到如下样条：

$S(x) = \left\{\begin{matrix} e^{-1} + 2(e^{-\frac{1}{4}} - e^{-1})(x+1) & x \in [-1, -\frac{1}{2}] \\ e^{-\frac{1}{4}} + 2(1-e^{-\frac{1}{4}})(x+\frac{1}{2}) & x \in [-\frac{1}{2},0] \\ 1 + 2(e^{-\frac{1}{4}}-1)x & x \in [0,\frac{1}{2}] \\ e^{-\frac{1}{4}} + 2(e^{-1} - e^{-\frac{1}{4}})(x-\frac{1}{2}) & x \in [\frac{1}{2},1] \\ \end{matrix}\right.$