索伯列夫空间

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数学上，一个索伯列夫空间是一个由函数组成的赋范线性空间，对于某个给定的p ≥ 1，它对一个函数f和它的直到某个k阶导数加上有限L^p范数的这个条件。它以索伯列夫命名。

[编辑] 简介

对于数学函数的光滑性有很多规则。最基本的规则可能就是对函数连续性的要求。光滑性的更强的概念是可微性（因为可微函数也是连续的），再强一些的概念是导数的连续性（这些函数称为 $C 1$ — 参看光滑函数）。可微函数在很多领域相当重要，特别是在微分方程中）。在二十世纪，人们发现 $C 1$ 函数空间不是研究微分方程的解的恰当的空间。

而索伯列夫空间正是用于偏微分方程的解的 $C 1$ 空间的替代品。

[编辑] 技术性讨论

我们从最简单情况下的索伯列夫空间开始，也就是单位圆上的一维情况。在这个情况下，索伯列夫空间 $W k, p$ 定义为L^p的子集，使得f和它的直到k阶的导数有一个有限的L^p范数，对于某个给定的p ≥ 1。定义正确意义上的导数时必须小心。在这个一维问题中，假设 $f (k - 1)$ 是几乎处处可微并且等于其导数的勒贝格积分（这可以排除康托函数这样和这个定义试图达成的对象无关的例子）就足够了。

按照这个定义，索伯列夫空间有一个自然的范数,

$\|f\|_{k,p}=\sum_{i=0}^k \|f^{(i)}\|_p = \sum_{i=0}^k \Big(\int |f^{(i)}(t)|^p\,dt \Big)^{1/p}.$

装备了范数 $\|\cdot\|_{k,p}$ 的 $W k, p$ 是一个巴拿赫空间。实际上只要取序列中的第一项和最后一项就可以了，也即，如下的范数

$\|f^{(k)}\|_p + \|f\|_p$

和上述范数等价。

[编辑] 例子

有些索伯列夫空间有简单的表述。例如，在一维情况， $W 1,1$ 就是绝对连续函数空间，而W^1,∞是李普希兹函数空间。还有， $W k,2$ 可以自然地用其傅立叶级数的术语定义，也就是

$W^{k,2}({\mathbb T}) = \Big\{ f\in L^2({\mathbb T}):\sum_{n=-\infty}^\infty (1+n^2 + \dotsb + n^{2k}) |\widehat{f}(n)|^2 < \infty\Big\}$

其中 $\widehat{f}$ 是f的傅立叶级数。和前面一样，可以采用等价的范数

$\|f\|^2=\sum_{n=-\infty}^\infty (1 + n^{2k}) |\widehat{f}(n)|^2.$

两个表达都可以从Parseval定理以及微分等价于傅立叶系数乘以in这个事实导出。这个特殊情况很重要，因此有一个特别的符号， $H k$ :

$\,H^k = W^{k,2}.$

[编辑] 非整数k的索伯列夫空间

为避免混淆，在讨论不是整数的k的时候，我们通常用s来取代它，也即 $W s, p$ 或者 $H s$ 。

[编辑] p = 2的情形

p = 2的情形是最简单的情形，因为傅立叶表述可以直接推广。我们定义范数为

$||f||^2_{2,s}=\sum (1+n^{2s})|\widehat{f}(n)|^2$

而索伯列夫空间 $H s$ 为具有有限范数的函数的空间。

[编辑] 分数阶微分

如果p不是2，就采取类似的方法。在这个情况下Parseval定理不再成立，但是微分还是对应于在傅立叶域中的乘法，并且可以推广到非整数阶。因此，可以定义一个分数阶微分的算子其阶为s，如下所示

$F^s(f)=\sum_{n=-\infty}^\infty (in)^s\widehat{f}(n)e^{int}$

换句话说，取傅立叶变换，乘以 $(i n) s$ 再取逆傅立叶变换（定义为傅立叶－乘法－逆傅立叶的算子称为乘子，这本身也是一个研究主题）。这使得我们可以定义 $s, p$ 的索伯列夫范数如下

$\,||f||_{s,p}=||f||_p+||F^s(f)||_p$

而且，跟平常一样，索伯列夫空间是有有限索伯列夫范数的函数的空间。

[编辑] 复插值

获取“分数索伯列夫空间”的另一个办法是采用复插值。复插值是一个通用的技术：对于任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空间X及Y，且这二者都包含于某个更大的巴拿赫空间中，我们可以创建“过渡空间”，记为[X,Y]_t。（后面将会讨论到一个不同的方法，所谓的实插值方法，它对于迹的分类的索伯列夫理论有重要的意义）。

这样的空间X和Y称为插值对。

下面提一些关于复插值的有用的定理：

定理 (插值): [ [X,Y]_a , [X,Y]_b ]_c = [X,Y]_cb+(1-c)a.

定理 (算子的插值): 若{X,Y}和{A,B}是插值对，并且若T是一个线性映射，定义与X+Y到A+B中，使得T在X到A和Y到B上连续，则T从[X,Y]_t到[A,B]_t上连续。并且有如下的插值不等式：

$||T||_{[X,Y]_t \to [A,B]_t}\leq C||T||_{X\to A}^{1-t}||T||_{Y\to B}^t.$

参看: Riesz-Thorin定理。

回到索伯列夫空间上来，我们要通过对几个 $W k, p$ 的插值得到非整数s的 $W s, p$ 。第一件事当然是看看这个可以给出一致的结果，而我们确实有

定理: $\left[W^{0,p},W^{m,p}\right]_t=W^{n,p}$ ，如果n是一个整数使得n=tm。

因此，复插值是一个得到一个空间 $W k, p$ 之间的空间 $W s, p$ 的一个连续统的一致的方法。而且，它给出了和分数阶微分同样的空间（但参看延拓算子中的一个变化）。

[编辑] 多维情况

现在考虑在Rⁿ及其子集上的索伯列夫空间。从圆到线的变化只涉及傅立叶公式的技术细节 — 基本上就是将傅立叶级数变为傅立叶变换，将求和变为积分。到多维情况的转换有更大的难度，从定义就开始变化。 $f (k - 1)$ 是 $f (k)$ 的积分这个条件无法一般化，而最简单的解决办法是考虑分布理论意义下的导数。

由此可以得到一个形式化的定义。令D为Rⁿ中开集。定义索伯列夫空间

$\,W^{k,p}(D)$

为定义于D上的函数f的族，使得对于满足下式的每个多重索引 $α$

$|\alpha|\leq k$

$f (α)$ 是一个函数，且

$||f^{(\alpha)}||_p < \infty.$

在它上面的一个合适的范数是所有这样的α上的那些L^p范数的和。它是完备的，因此是一个巴拿赫空间。

实际上，这个方法在一维也成立，并且和前面分数阶微分中所述并无多大区别。

[编辑] 例子

在多维情况，有些结果不再成立，例如， $W 1,1$ 只包含连续函数。例如，1/|x|属于 $W 1,1 (B 3)$ ，其中 $B 3$ 是三维的单位球。对于足够大的k， $W k, p (D)$ 将只包含连续函数，但是对于哪个k才够取决于p以及维数这二者。

但是，W^1,∞和 $W k,2$ 的表述在做了必要的修改之后还是成立的。

[编辑] 索伯列夫嵌入

索伯列夫空间 $W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ 是 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 的子集。一个很自然的问题是:有没有其它的L^p空间包含 $W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ ？如下的回答容许一个简单的表达（参看^[1]）:

定理:令 $k,n\in\mathbb{Z}_{>0}$ 且 $1\leq p\leq\infty$ 。则如下命题成立:

若 $\frac{1}{p}>\frac{k}{n}$ 则 $W^{k,p}(\mathbb{R}^n)\subseteq L^{\frac{1}{\frac{1}{p}-\frac{k}{n}}}(\mathbb{R}^n)$ （作为集合）。而且，包含关系是一个有界算子。
若 $\frac{1}{p}=\frac{k}{n}$ 则所有有紧支撑的函数 $f\in W^{k,p}(\mathbb{R}^n)$ 是 $L^q(\mathbb{R}^n)$ 的元素，其中 $q<\infty$ 。

[编辑] 迹

令s > ½。若X为开集，使得其边界 G"足够光滑"，则我们可以定义映射P的迹（也即，限制)如下

P u = u | G,

也即，u限制到边界G上。一个可能的光滑条件是一致 $C m$ ， m ≥ s。（但是注意，这个矩阵迹没有关系。）

这个迹映射P其定义域为 $H s (X)$ ，而其像正好是 $H s - 1 / 2 (G)$ 。如果要完全形式化，P首先定义在无穷可微函数上，并且通过连续性扩展到整个 $H s (X)$ 。注意取迹'失去了半个导数'。

确定 $W s, p$ 的迹映射的像要困难很多，需要使用实插值这个工具，在此不具体讨论。其最后的结果是Besov空间。事实上，在 $W s, p$ 空间的情形，我们不是失去半个导数，我们失去了1/p个导数。

[编辑] 延拓算子

若X是开域，其边界不是太不良（例如，如果其边界为流形，或者满足更宽松但更奇特的“锥条件”）则存在一个算子A将X的函数到Rⁿ的函数，使得：

Au(x) = u(x) 对于几乎所有X中的x以及
A连续，从 $W k, p (X)$ 到 $W^{k,p}({\mathbb R}^n)$ ，对于任何1 ≤ p ≤ ∞ 以及整数k。

我们称算子A为X的延拓算子。

延拓算子是最自然的定义非整数s的 $H s (X)$ 方法（我们不能直接在X进行，因为取傅立叶变化是一个整体操作）。我们定义 $H s (X)$ 为：u属于 $H s (X)$ 当且仅当Au属于 $H^s(\mathbb R^n)$ 。等价的有，复插值产生同样的 $H s (X)$ 空间只要X存在一个延拓算子。如果X没有一个延拓算子，复插值是唯一取得 $H s (X)$ 空间的办法。