曲率形式

微分几何中,曲率形式(curvature form)描述了主丛上的联络的曲率.它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广.

[编辑] 定义

令G为一个李群而 $E\to B$ 为一个主G-丛.记G的李代数为 $g$ . 令 $ω$ 表示E上的联络形式(它是一个E上的g-值 1-形式').

则曲率形式就是E上的g-值2-形式,定义为

$\Omega=d\omega +{1\over 2}[\omega,\omega]=D\omega.$

这里 $d$ 表示外导数, $[ * , * ]$ 是李括号而D表示外共变导数.更精确的讲,

$\Omega(X,Y)=d\omega(X,Y) +{1\over 2}[\omega(X),\omega(Y)].$

若 $E\to B$ 是一个纤维丛,其结构群为G,我们可以在关联的主G-丛上重复同样的定义.

若 $E\to B$ 是一个向量丛则我们可以把 $ω$ 看作是1-形式的矩阵,然后上面的公式取下面的形式:

$\Omega=d\omega +\omega\wedge \omega,$

其中 $\wedge$ 是楔积. 更精确的讲,若 $\omega^i_j$ 和 $\Omega^i_j$ 分别代表 $ω$ 和 $Ω$ 的分量,

(所以每个 $\omega^i_j$ 是一个通常的1-形式而每个 $\Omega^i_j$ 是一个普通的2-形式)则

$\Omega^i_j=d\omega^i_j +\sum_k \omega^i_k\wedge\omega^k_j.$

例如,黎曼流形的切丛,我们有 $O (n)$ 作为结构群而 $\Omega^{}_{}$ 是在 $o (n)$ 中取值的2-形式 (给定标准正交基,可以视为反对称矩阵). 在这种情况, $\Omega^{}_{}$ 是曲率张量的一种替换表述,也就是在曲率张量的标准表示中,我们有

$R(X,Y)Z=\Omega^{}_{}(X\wedge Y)Z.$

第一Bianchi恒等式(对于标架丛的有扭率联络)取以下形式

$D\Theta=\Omega\wedge\theta={1\over 2}[\Omega,\theta]$ ,

这里D代表外共变导数而 $Θ$ 是扭率

第二Bianchi恒等式对于一般有联络的丛成立,并有如下形式

D Ω = 0.