主丛

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数学上，一个G主丛(pricinpal G-bundle)是一种特殊的纤维丛，其纤维为拓扑群G的作用的扭子(torsor)（也称为主齐性空间)。主G丛是G丛，因为群G也是丛的结构群。

主丛在拓扑学和微分几何中有重要应用。他们在物理学中也有应用，他们组成了规范理论的基础框架的一部分。主丛为纤维丛的理论提供了一个统一的框架，因为所有纤维丛及其结构群G决定了一个唯一的主G丛，从该主丛可以重建原来的那个丛。

[编辑] 形式化定义

一个主G丛是一个纤维丛π : P → X ，及一个拓扑群G的连续右作用P × G → P，该作用保持P的纤维不变并在纤维上自由和推移式的作用。(经常会要求基空间X是Hausdorff，还可能要求仿紧). 丛的抽象纤维取为G本身。

由此可知，G作用的轨道正好就是π : P → X的纤维而轨道空间P/G和基空间X同胚。要求G在纤维上自由和推移的作用意味着纤维具有扭子(torsor)的结构。一个G扭子是同胚于G的空间但没有群的结构因为它没有一个特定的单位元的选择。

主G丛的局部平凡化必须是G等变(equivariant)映射，使得纤维的G扭子结构得到保持。确切地说，这表示如果

$\phi : \pi^{-1}(U) \to U \times G\,$

是一个有 $φ(p) = (π(p),ψ(p))$ 形式的局部平凡化，则

$\phi(p\cdot g) = (\pi(p),\psi(p)g).$

主丛也可定义在光滑流形的范畴中。这里π : P → X要求是一个光滑流形间的光滑映射，G要求为李群,而相应的P上的作用也要光滑。

[编辑] 例

最普通的光滑主丛的例子是光滑流形M的标架丛。这里，M中一点x上的纤维是切空间T_xM的所有标架(有序的基)。一般线性群(general linear group) GL(n,R)在这些标架上简单推移的作用。这些纤维可以一种自然的方式粘在一起，从而得到一个M上的主GL(n,R)丛.

上面这个例子的变种包括黎曼流形的正交标架丛(orthonormal frame bundle)。这里，标架必须对于度量张量正交。结构群是正交群O(n).

一个正则(正规)覆盖空间p : C → X是一个主丛，其中，结构群 $π 1 (X) / p * π 1 (C)$ 通过单值作用(monodromy action)作用在C上。特别的有,X的万有覆盖(universal cover)是以 $π 1 (X)$ 为结构群的X上的主丛.

令G为李群而H为闭子群。则G是G/H(H的左陪集空间)上的主H丛。这里H在G上的作用就是右乘。

射影空间提供了更多主丛的有趣例子。回想一下，n-球 Sⁿ是一个实射影空间(real projective space) RPⁿ的两层的覆盖空间. O(1)在Sⁿ上的自然作用给它RPⁿ上的主O(1)丛的结构。同样，S²ⁿ⁺¹是一个复射影空间(complex projective space) CPⁿ上的主U(1)丛，而S⁴ⁿ⁺³是四元数射影空间(quaternionic projective space) HPⁿ上的主Sp(1)-丛。这样，对每个正的n,我们有一系列的主丛:

$\mbox{O}(1) \to S(\mathbb{R}^{n+1}) \to \mathbb{RP}^n$

$\mbox{U}(1) \to S(\mathbb{C}^{n+1}) \to \mathbb{CP}^n$

$\mbox{Sp}(1) \to S(\mathbb{H}^{n+1}) \to \mathbb{HP}^n$

这里S(V)表示V (用欧氏度量)中的单位球. 对于所有这些例子，n = 1的情况给出了所谓的Hopf丛.

[编辑] 主丛的表述

如果π : P → X是一个光滑主G丛，则G在P上的作用是自由和真(proper)的,使得轨道空间P/G微分同胚于基空间X。事实上，这些性质完全归纳了光滑主从的特征。也就是说，如果P是一个光滑流形，G是李群而μ : P × G → P是一个光滑，自由，和真的右作用，则

P/G 是一个光滑流形,
自然投影π : P → P/G是一个光滑淹没(submersion),
P是一个P/G上的光滑主G从。

[编辑] 参看

关联丛(associated bundle)
向量丛
G结构
规范场论

[编辑] 参考

Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 See section 1.7.
David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7 See Chapter 1.

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