小波分析

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小波分析(wavelet analysis), 或小波变换、小波轉換(wavelet transform)是指用有限长或快速衰减的、称为母小波(mother wavelet)的震荡波形来表示信号。该波形被缩放和平移以匹配输入的信号。

小波一词由Morlet和Grossman在1980年代早期建立。他们用的是法语词ondelette - 意思就是"小波"。在英语裡，后来將"onde"變為"wave"而成了wavelet。

小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波变换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。

小波理论和几个其他课题相关。所有小波变换可以视为时域频域表示的形式，所以和调和分析相关。所有实际有用的离散小波变换使用包含有限脉冲响应滤波器的滤波器段(filterbank)。构成CWT的小波受海森堡的测不准原理制约，或者说，离散小波基可以在測不準原理的其他形式的上下文中考虑。

[编辑] 母小波

简单来说(技术上有错)，母小波函数 $\psi\ (t)$ 必须满足下列条件:

$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi (t)|\ ^2\, dt = 1$ , 也即 $\psi\in L^2(\R)$ 并单位化

$\int_{-\infty}^{\infty} |\psi\ (t)|\, dt <\infty$ , 也即 $\psi\in L^1(\R)$

$\int_{-\infty}^{\infty} \psi\ (t)\, dt = 0$

多数情况下，需要要求 $ψ$ 连续且有一个矩为0的大整数M，也即对所有整数m<M

$\int_{-\infty}^{\infty} t^m\,\psi\ (t)\, dt = 0$

这表示母小波必须非0且均值为0。技术上来讲，母小波必须满足可采纳性条件以使某个分辨率的恒等成立。

母小波的一些例子:

Meyer

Morlet

墨西哥帽

母小波缩放(或称膨胀) $a$ 倍并平移 $b$ 得到(根据Morlet的原始形式):

$\psi _{a,b} (t) = {1 \over {\sqrt a }}\psi \left( {{{t - b} \over a}} \right)$

这些函数常常被错误的称为变换的基函数。实际上，没有基函数存在。时域频域解释要用一个稍有区别的表述(由Delprat给出)。

[编辑] 和傅里叶变换比较

小波变换经常和傅里叶变换做比较，在那里信号用正弦函数的和来表示。主要的区别是小波在时域和频域都是局部的而标准的傅里叶变换只在频域上是局部的。短时间傅里叶变换(Short-time Fourier transform)(STFT)也是时域和频域都局部化的但有些频率和时间的分辨率问题，而小波通常通过多分辨率分析给出信号更好的表示。

小波变换计算复杂度上也更小，只需要O(N)时间，而不是快速傅里叶变换的 O(N log N)，N代表数据大小。

[编辑] 小波的定义

有几种定义小波(或者小波族)的方法.

[编辑] 缩放滤波器

小波完全通过缩放滤波器g ——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。

高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet小波。

[编辑] 缩放函数

小波有时域中的小波函数 $ψ(t)$ (即母小波)和缩放函数 $φ(t)$ (也称为父小波)来定义。

小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。详细解释请参看[1]。

对于有紧支撑的小波， $φ(t)$ 可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。

[编辑] 小波函数

小波只有时域表示，作为小波函数 $ψ(t)$ 。例如墨西哥帽小波。

[编辑] 应用

通常来讲，DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。小波变换现在被大量不同的应用领域所采纳，经常取代了傅里叶变换的位置。很多物理学的领域经历了这个范式的转变，包括分子动力学，从头计算(ab initio calculations),天文物理学，密度矩阵局部化，地震地质物理学，光学，湍流，和量子力学。其他经历了这种变化的学科有图像处理，血压，心率和心电图分析，DNA分析，蛋白质分析，气象学，通用信号处理，语言识别，计算机图形学，和多分形分析。

小波的一个用途是数据压缩。和其他变换一样，小波变换可以用于原始数据(例如图像)，然后将变换后的数据编码，得到有效的压缩。JPEG 2000 是采用小波的图像标准。细节请参看小波压缩。

[编辑] 历史

小波的发展和几条不同的思路相关，最早的是Haar在20世纪早期的工作。对小波理论有突出贡献的有Goupillaud, Grossman和Morlet的表述，现在称为CWT (1982), Strömberg在离散小波上的早期工作(1983), 多贝西(Daubechies)的紧支撑正交小波(1988), Mallat的多分辨率框架(1989), DelpratCWT的时域频域解释 (1991), Newland的调和小波变换和之后的很多其他人。

[编辑] 时间线

第一个小波(Haar小波)由Alfred Haar给出 (1909年)
1950年代以来: Jean Morlet和Alex Grossman
1980年代以来: Yves Meyer, Stéphane Mallat, 英格丽·多贝西 (Ingrid Daubechies), Ronald Coifman, Victor Wickerhauser

[编辑] 小波变换

存在着大量的小波变换，每个适合不同的应用。完整的列表参看小波相关的变换列表，常见的如下：

连续小波变换 (CWT)
离散小波变换 (DWT)
快速小波变换 (FWT)
小波包分解(Wavelet packet decomposition) (WPD)

[编辑] 小波列表

[编辑] 离散小波

Beylkin (18)
Coiflet (6, 12, 18, 24, 30)
多贝西小波(Daubechies小波) (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)
Cohen-Daubechies-Feauveau小波，有时称为「多贝西」9/7 (Daubechies 9/7) 或 CDF9/7
Haar小波
Vaidyanathan滤波器 (24)
Symmlet
复小波变换

[编辑] 连续小波

墨西哥帽小波
厄尔米特小波
厄尔米特帽小波
复墨西哥帽小波
Morlet小波
修正Morlet小波
Addison小波
希尔伯特-厄尔米特小波

[编辑] 相關條目

滤波器段
超宽带无线传输小波。
短時傅里叶轉換
chirplet变换
分數傅里叶轉換

[编辑] 参考

Paul S. Addison, The Illustrated Wavelet Transform Handbook, Institute of Physics, 2002, ISBN 0750306920
Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0898712742
Mladen Victor Wickerhauser, Adapted Wavelet Analysis From Theory to Software, A K Peters Ltd, 1994, ISBN 1568810415
P. P. Viadyanathan, Multirate Systems and Filter Banks, Prentice Hall, 1993, ISBN 0136057187

[编辑] 外部链接

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