การพิสูจน์ว่า 0.999... เท่ากับ 1

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีหลายคนที่คิดว่า 0.999... ซึ่งเป็นทศนิยมซ้ำที่มีค่าไม่เท่ากับ 1 นี่คือการพิสูจน์

สารบัญ

1 การพิสูจน์
- 1.1 อธิบาย
2 การพิสูจน์เชิงพีชคณิต
3 ดูเพิ่ม

[แก้] การพิสูจน์

$0.999\ldots$	$= \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots$
	$= -9 + \frac{9}{1} + \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \frac{9}{1000} + \cdots$
	$= -9 + 9 \times \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k$
	$= -9 + 9 \times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}$
	$= 1\,$

[แก้] อธิบาย

เนื่องจากอนุกรมเรขาคณิตอนันต์นี้ เป็นอนุกรมลู่เข้า จึงได้ว่า

$\sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{10}}$

[แก้] การพิสูจน์เชิงพีชคณิต

[แก้] การดำเนินการทางพีชคณิต

มีหลายคนคิดว่า การพิสูจน์นี้มีข้อผิดพลาดตรงที่เป็นอนุกรมลู่เข้า นี่เป็นการพิสูจน์ที่ง่ายกว่า

$x$	$= 0.999\ldots$
$10 x - x$	$= 9.999\ldots - 0.999\ldots$
$9 x$	$= 9$
$x$	$= 1$

[แก้] สมบัติของจำนวนจริง

การพิสูจน์นี้ใช้คุณสมบัติของจำนวนจริง ถ้า 0.999... และ 1 เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันแล้ว มันจะมีจำนวนจริงในช่วง (0.999..., 1) อยู่เป็นอนันต์ แต่ในความจริง มันไม่มีจำนวนนั้น แสดงว่าสมมติฐานว่า 0.999... กับ 1แตกต่างกันนั้นผิด ที่จริงแล้วมันมีค่าเท่ากัน