Teorema de Taylor

De Wikipedia, la enciclopedia libre

En cálculo, el Teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció en 1712. Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. En términos matemáticos: Si n≥0 es un entero y f una función que es derivable n veces en el intervalo cerrado [a, x] y n+1 en el intervalo abierto (a, x), entonces se cumple que:

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R$

Donde, n! denota el factorial de n, y R es el resto, término que depende x y es pequeño si x está próximo al punto a. Existen dos expresiones para R que se mencionan a continuación:

$R = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}$

donde ξ, a, x, n pertenecen a los reales

$R = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt$

Si R es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.

Para algunas funciones f(x), se puede probar que el resto, R, se aproxima a cero cuando n se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto a y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con R expresado de la segunda forma es también válido si la función f tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

Conceptos en el Cálculo

Derivación

Integración

Métodos de integración | Integrales impropias | Lista de integrales

Cálculo

Función matemática Límites de Funciones Continuidad Diferenciales Regla del producto Regla del cociente Regla de la cadena Derivación implícita Teorema de Taylor Métodos de integración Integración por sustitución Integración por partes Integración por sustituciones trigonométricas Sólidos de revolución Lista de Integrales
Próximo: Métodos de integración
Anterior: Derivación implícita

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../t/e/o/Teorema_de_Taylor_2938.html"

Categoría: Teoremas

Teorema de Taylor

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Views

Navegación

Buscar

Otros idiomas