Bråk

Wikipedia

Ett bråk, inom algebran, är en kvantitet dividerat med en annan kvantitet. Om a och b är två tal så ges kvoten k av $k = {a \over b}, \quad b \ne 0.$ Ett annat skrivsätt är k = a/b. I äldre litteratur förekommer beteckningssättet a:b, och i engelskspråkig litteratur och på räknedosor används a÷b. Talet a benämns täljare och b nämnare.

[redigera] Allmänt

Om både täljaren och nämnaren är heltal, kan bråket betraktas som ett enskilt tal, och man säger då att talet är skrivet i bråkform, vilket i äldre språkbruk kallas allmänt bråk, och man gjorde då även följande distinktion: Om nämnaren är större än täljaren kallas bråket äkta eller egentligt . Om istället täljaren är större än nämnaren kallas bråket oäkta eller oegentligt.

Ett bråktal där täljaren är större än nämnaren kan också skrivas på blandad form (tidigare blandat tal): Exempel: $\frac 5 3 = 1\frac 2 3$ .

[redigera] Regler

Några regler för användningen av bråk:

Man säger att man förkortar ett bråk när man kan förenkla bråket genom att dividera både täljaren och nämnaren med samma faktor. Exempelvis kan man förkorta 4/6 med 2 och får då resultatet 2/3 och x/x² med x och får 1/x. Man bör dock vara försiktig med att förkorta med en algebraisk faktor som kan ha värdet noll, eftersom bråket inte är definierat om nämnaren är noll.

Man säger att man förlänger ett bråk när man förändrar bråket genom att multiplicera både täljaren och nämnaren med samma faktor. Exempelvis kan man förlänga 2/3 med 2 och får då resultatet 4/6 och förlänga 1/x med x och får x/x². Detta behövs till exempel vid addition och subtraktion av bråk, eftersom termerna då måste ha samma nämnare.

Man kan addera bråk genom att omvandla varje term så att de har gemensam nämnare (göras liknämniga). Efter detta kan sedan täljarna adderas ihop. Ofta kan bråket förenklas efter additionen, men med minsta gemensamma nämnare fås många gånger den mest förenklade formen av bråket direkt.

Bråk multipliceras genom att täljarna multipliceras för sig och nämnare multipliceras för sig. (Här behöver de inte först göras liknämniga.)

Man dividerar två bråk genom att multiplicera täljarbråket med inverterade talet till nämnarbråket:

$\frac {\frac a b} {\frac c d} = \frac a b \cdot \frac d c = \frac {ad} {bc}$

[redigera] Decimaltal

Ett decimaltal (tidigare benämnt decimalbråk) är ett bråktal, vars nämnare är ett dekadiskt tal, d.v.s. som skrivs med en etta följd av en eller flera nollor, till exempel 10, 100, 1 000, o.s.v. Ett alternativt skrivsätt för decimaltal är att använda decimaler:

Bråken $\frac{7}{10}, \frac{3}{100}, \frac{37}{1000}$ kan även skrivas på formeln 0,7; 0,03 eller 0,037.

[redigera] Periodiska decimaltal

Även periodiska decimaltal är bråktal, och kan förvandlas till bråkform eller blandad form:

$12,123123... = 12 + 0,123123... = 12 + \frac{123}{999} = 12\frac {43} {99}$

(sätt a = 0,123123... så är 1000a (= 123,123123... = 123 + 0,123123...) = 123 + a .)

[redigera] Generaliseringar

Istället för tal a och b kan ett bråk bestå av kvoten mellan två polynom ett sådant algebraiskt bråk kallas även rationellt uttryck).

Inom abstrakt algebra sägs ovanstående regler vara gemensamt för godtyckliga kroppar. Om man startar med heltalsdomänen Q så kan alltid fältet som innehåller alla bråk av Q enkelt konstrueras.