Функция Грина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике функция Грина используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Функция Грина линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием M в точке x₀, является решением уравнения (Lf)(x) = δ(x − x₀), где δ — дельта-функция Дирака. Если ядро оператора L нетривиально, тогда функция Грина не единственна. Однако на практике симметрии, граничные условия и дополнительные критерии позволяют выделить единственную функцию Грина. Также следует помнить, что функция Грина не обычная функция а обобщённая функция.

Функцию Грина можно представить как обратный оператор к L.

Функции Грина также полезны в теории конденсированных сред, где они позволяют разрешить уравнение диффузии, и в квантовой механике, где функция Грина гамильтониана является ключевой концепцией и имеет отношение к плотности состояний. Функции Грина, используемые в этих областях, очень похожи, поскольку математическая структура уравнения диффузии и уравнения Шрёдингера подобны.

Функция Грина названа в честь английского математика Георга Грина (англ. George Green), который первым развил эту теорию в 1830-х.

Содержание

1 Основание
2 Применения функции Грина
- 2.1 Исходные данные
- 2.2 Теорема
3 Нахождение функции Грина
- 3.1 Разложение
4 Пример
5 Другие примеры
6 См. также
7 Литература

[править] Основание

Свёртка с функцией Грина даёт решение неоднородного интегро-дифференциального уравнения, более известного как задача Штурма — Лиувилля. Пусть g — функция Грина оператора L, тогда решение f уравнения Lf = h задаётся так:

$f(x) = \int{ h(s) g(x,s) \, ds}.$

Это можно считать разложением h по базису из дельта-функций Дирака.

[править] Применения функции Грина

Первоначально функцию Грина использовали для решения неоднородных краевых проблем. В физике элементарных частиц функции Грина используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана (и выражение «функция Грина» обозначают корреляционную функцию в квантовой теории поля). Функция Грина широко применяется в приложениях теории рассеяния к физике твёрдого тела (рентгенография, расчёты электронных спектров металлических материалов).

[править] Исходные данные

Пусть $L$ — оператор Штурма — Лиувилля, линейный дифференциальный оператор вида

$L = {d \over dx}\left[ p(x) {d \over dx} \right] + q(x)$

и пусть D — оператор краевых условий

$Du = \left\{\begin{matrix} \alpha _1 u'(0) + \beta _1 u(0) \\ \alpha _2 u'(l) + \beta _2 u(l) \end{matrix}\right.$

Пусть $f (x)$ — непрерывная функция на промежутке $[0,1]$ . Предположим также, что задача

$\begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix}$

регулярна, то есть существует только тривиальное решение однородной задачи.

[править] Теорема

Тогда существует единственное решение u(x), удовлетворяющее системе

$\begin{matrix}Lu = f \\ Du = 0 \end{matrix}$ ,

и оно задаётся выражением

$u(x) = \int_{0}^{l}{ f(s) g(x,s) \, ds}$

где g(x,s) — функция Грина, которая удовлетворяет следующим требованиям:

g(x,s) непрерывна по x и s.
Для $x \ne s$ , $L g (x, s) = 0$ .
Для $s \ne 0, l$ , $D g (x, s) = 0$ .
Скачок производной: $g'(s + 0, s) - g'(s - 0, s) = 1 / p (s)$ .
Симметрична: g(x, s) = g(s, x).

[править] Нахождение функции Грина

[править] Разложение

Если множество собственных векторов дифференциального оператора L : $Ψ n (x)$ (то есть набор функций : $Ψ n (x)$ и скаляров : $λ n$ таких, что $L Ψ n = λ n Ψ n)$ ) полно, тогда мы можем построить функцию Грина из собственных векторов и собственных значений.

Под полнотой подразумевается выполнение соотношения полноты для набора : $Ψ n (x)$ :

$\delta(x - x') = \sum_{n=0}^\infty \Psi_n(x) \Psi_n(x').$

Можно показать, что

$G(x, x') = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Psi_n(x) \Psi_n(x')}{\lambda_n}.$

Действительно, подействовав оператором $L$ на эту сумму, мы получим дельта функцию (в силу соотношения полноты).

[править] Пример

Дана задача

$\begin{matrix}Lu\end{matrix} = u ' ' + u = f( x )$

$Du = u(0) = 0 \quad, \quad u(\frac{\pi}{2}) = 0$ .

Найти функцию Грина.

Первый шаг: Из 2-го условия мы видим, что

$g(x,s) = c_1 (s) \cdot \cos x + c_2 (s) \cdot \sin x$

Для x < s из 3-го условия $c 1 (s) = 0$ , в то же время для x > s выполняется $c 2 (s) = 0$ .

В итоге:

$g(x,s)=\left\{\begin{matrix} a(s) \sin x, \;\; x < s \\ b(s) \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right.$

Второй шаг: Нужно определить a(s) и b(s).

По 1-му условию

a (s)sin s = b (s)cos s

Используя 4-ое условие

$b(s) \cdot [ - \sin s ] - a(s) \cdot \cos s$	$= \frac{1}{1}$
	$= 1\,$

Используя правило Крамера или просто угадывая решение для a(s) и b(s), мы получим, что $a(s) = - \cos s \quad ; \quad b(s) = - \sin s$ .

Эти выражения удовлетворяют условию 5.

Тогда функция Грина задачи:

$g(x,s)=\left\{\begin{matrix} -1 \cdot \cos s \cdot \sin x, \;\; x < s \\ -1 \cdot \sin s \cdot \cos x, \;\; s < x \end{matrix}\right.$

[править] Другие примеры

Пусть дано многообразие R и оператор L равен d/dx. Тогда функция Хевисайда H(x − x₀) является функцией Грина для L при x₀.
Пусть многообразие задаётся первой четвертью плоскости { (x, y) : x, y ≥ 0 } и L — оператор Лапласа. Также предположим, что при x = 0 наложены краевые условия Дирихле, при y = 0 — краевые условия Неймана. Тогда функция Грина примет вид

$G(x, y, x_0, y_0)=\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y-y_0)^2}\right]$

$+\frac{1}{2\pi}\left[\ln\sqrt{(x-x_0)^2+(y+y_0)^2}-\ln\sqrt{(x+x_0)^2+(y+y_0)^2}\right].$

[править] См. также

Дифференциальный оператор
Линейное дифференциальное уравнение

[править] Литература

Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (5-ая глава содержит очень понятное изложение использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.)
A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Категории: Дифференциальные уравнения | Функции