Теория операторов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение $T$ из векторного пространства $X$ в векторное пространствo $Y$ называется линейным оператором если $T (α x + β y) = α T (x) + β T (y)$ для любых $x$ и $y$ в $X$ и любых скаляров $α$ и $β$ . Часто пишут $T x$ вместо $T (x)$ . Линейный оператор из нормированного пространства $X$ в нормированное пространство $Y$ называется ограниченным если найдется положительное вещественное число $M$ такое что $\lVert Tx\rVert\le M\lVert x\rVert$ для всех $x$ в $X$ . Наименьшая константа $M$ удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора $T$ и обозначается $\lVert T\rVert$ . Нетрудно видеть что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из из нормированного пространства $X$ в нормированное пространство $Y$ обозначается $L (X, Y)$ . В случае когда $X = Y$ пишут $L (X)$ вместо $L (X, X)$ . Если $H$ — Гильбертово пространство, то обычно пишут $B (H)$ вместо $L (H)$ . На $L (X, Y)$ можно ввести структуту векторного пространства через $(T + S) x = T x + S x$ и $T (α x) = α(T x)$ , где $T,S\in L(X,Y)$ , $x,y\in X$ , а $α$ — произвольный скаляр. С введенной выше операторной нормой, $L (X, Y)$ превращается в нормированное пространство. В частности, $\lVert S+T\rVert\le\lVert S\rVert+\lVert T\rVert$ и $\lVert\alpha T\rVert=\left|\alpha\right|\cdot\lVert T\rVert$ для любых $T,S\in L(X,Y)$ и произвольного скаляра $α$ . Пространство $L (X, Y)$ является Банаховым тогда и только тогда когда $Y$ — Банахово.

Пусть $X, Y$ и $Z$ — нормированные пространства, $S\in L(X,Y)$ и $T\in L(Y,Z)$ . Композиция $S$ и $T$ обозначается $T S$ и называется «произведением» операторов $S$ и $T$ . Заметим что $TS\in L(X,Z)$ и $\lVert TS\rVert\le\lVert T\rVert\cdot\lVert S\rVert$ . Если $X$ — Банахово пространство, то $L (X)$ с введенным выше умножением является Банаховой алгеброй.

В «теории операторов» можно выделить несколько основных разделов:

Спектральная теория изучает спектр оператора.
Классы операторов. В часности, компактные операторы, Фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
Операторы на специальных нормированных пространствах.
- На Гильбертовых пространствах изучают самосопряженные, нормальные, унитарные, положительныe операторы и др.
- На функциональных пространствах: дифференциальные, псевдодифференциальные, интегральные, и псевдоинтегральные операторы; операторы умножения, подстановки, подстановки с весом, и др.
- На Банаховых решетках: положительные операторы, регулярные операторы, и др.
Совокупности операторов (то есть, подмножества $L (X)$ ): операторные алгебры, операторные полугруппы, и др.
Теория инвариантных подпространств.

Это незавершённая статья по математике.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.

Категории: Незавершённые статьи по математике | Функциональный анализ

Теория операторов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках