Теоремы Силова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В теории групп, теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Силовом в 1872 г.

Содержание 1 Необходимые определения 2 Теоремы 2.1 Следствие 3 Доказательства 4 Литература

[править] Необходимые определения

Пусть G — конечная группа, а p — простое число, которое делит порядок G. Подгруппы порядка p^t называются p-подгруппами. Выделим из порядка группы G примарный делитель по p: | G | = pⁿs, НОД(p, s) = 1. Тогда силовской p-подгруппой называется подгруппа G, имеющая порядок pⁿ.

[править] Теоремы

Пусть G — конечная группа. Тогда:

1. Силовская p-подгруппа существует.

2. Всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе. Все силовские p-подгруппы сопряжены (т.е. каждая представляется в виде gPg ^{− 1}, где g — эелемент группы, а P — силовская подгруппа из теоремы 1).

3. Количество силовских p-подгрупп сравнимо с единицей по модулю p () и делит порядок G.

[править] Следствие

Если все делители | G | , кроме 1, после деления на p дают остаток, отличный от единицы, то в G есть единственная силовская p-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой. 350 = 2*5²*7, значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25. N₅ должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в G одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому G не может быть простой.

[править] Доказательства

Пусть pⁿ — примарный по p делитель порядка G.

1. Докажем теорему индукцией по порядку G. При |G| = p теорема верна. Пусть теперь |G| > p. Пусть Z(G) - центр группы G. Возможны два случая:

а) p делит |Z|. Тогда в центре существует циклическая группа (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в G. Факторгруппа G по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем G, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская p-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в G. Он и будет нужной нам силовской p-подгруппой G.

б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы сопряжённости: (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делится на p, значит, должен найтись класс K_a, порядок которого не делится на p. Соответствующий ему нормализатор имеет порядок pⁿr, r < s. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская p-подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть H — произвольная p-подгруппа G. Рассмотрим её действие на множестве правых классов смежности G/P левыми сдвигами, где P — силовская p-подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делить p. Но |G/P| не делится на p, значит, у действия есть неподвижная точка gP. Получаем , а значит, , то есть H лежит целиком в некоторой силовской p-подгруппе.

Если при этом H — силовская p-подгруппа, то она сопряжена с P.

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:N_G(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg^-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в N_G(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем .

[править] Литература

1. А. И. Кострикин. Введение в алгебру, III часть. М.: ФизМатЛит, 2001.

2. Э. Б. Винберг. Курс алгебры. М.: Факториал-Пресс, 2002.