Sylow-Sätze

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Die Sylow-Sätze sind drei mathematische Sätze aus der Algebra. Die nach dem Norweger Peter Sylow benannten Sätze erlauben es, Aussagen über Untergruppen von endlichen Gruppen zu treffen und auch einige Gruppen endlicher Ordnung zu klassifizieren. Dies ist mit diesen Mitteln aber nur in sehr beschränktem Maße möglich, eine vollständige Klassifikation endlicher Gruppen vollzieht sich über die Klassifikation der einfachen endlichen Gruppen und der Beweis dazu umfasst 15.000 Seiten!

Inhaltsverzeichnis

1 Die Sätze
2 Beispiele
- 2.1 Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch
- 2.2 Es gibt keine einfache Gruppe der Ordnung 162

[Bearbeiten] Die Sätze

Sei im folgenden $G$ eine endliche Gruppe der Ordnung $| G | = p r m$ , wobei p eine Primzahl und m eine zu p teilerfremde natürliche Zahl sei.

Für die Anzahl $s p$ der Untergruppen der Ordnung $p r$ gilt:

$s_p \equiv 1 \mod p$

(d.h.

s p

lässt bei Division durch

p

den Rest 1) und $s_p \mid m$ . Insbesondere ist

s p

niemals null. Diese Untergruppen nennt man auch oft die p-Sylow-Untergruppen von G.

Es sei H eine Untergruppe der Ordnung $p s$ , mit s < r. Dann ist H in einer p-Sylow-Untergruppe von G enthalten.
Alle p-Sylow-Untergruppen sind zueinander konjugiert.

Wenn es zu einem p nur eine Sylow-Untergruppe gibt, muss sie ein Normalteiler von G sein. Diesen Sachverhalt kann man zum Beispiel benutzen, um die Einfachheit aller endlichen Gruppen einer bestimmten Ordnung zu widerlegen.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Jede Gruppe der Ordnung 15 ist zyklisch

Sei G eine Gruppe der Ordnung $|G|=15=3 \cdot 5$ , dann gilt:

$s_3 \equiv 1 \;mod\; 3$ und $s_3 \mid 5$ , also muss $s 3 = 1$ gelten.
$s_5 \equiv 1 \;mod\; 5$ und $s_5 \mid 3$ , also muss $s 5 = 1$ gelten.

Also ist die 3-Sylow- bzw. die 5-Sylow-Untergruppe ein Normalteiler von G. Weiterhin weiß man, dass in der 3-Sylow-Untergruppe 2 Elemente der Ordnung 3 sein müssen (und natürlich das neutrale Element), da die Ordnung jedes Elements die Gruppenordnung teilt, ebenso 4 Elemente der Ordnung 5 in der 5-Sylow-Untergruppe.

Das führt schließlich zur Folgerung $G \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ .

[Bearbeiten] Es gibt keine einfache Gruppe der Ordnung 162

Sei $|G| = 162= 2\cdot 3^4$

Aus $s_3 \equiv 1 \; mod\;3$ und $s_3 \mid 2$ folgt $s 3 = 1$

Also ist die 3-Sylow ein Normalteiler von G der Ordnung $34 = 81$ . Dieser Normalteiler kann somit weder die ganze Gruppe G sein, noch kann er nur aus dem neutralen Element bestehen. G ist also nicht einfach.

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Kategorie: Gruppentheorie