Teorema di Sylow

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Il Teorema di Sylow è un teorema di algebra, che afferma che in ogni gruppo finito di ordine $n$ (ovvero con $n$ elementi) esistono sottogruppi di ordine pari ad un fattore primo di $n$ o ad una sua potenza. Il teorema, dimostrato per la prima volta nel 1872 da Ludwig Sylow, è considerato uno dei risultati fondamentali nella teoria dei gruppi finiti, in quanto permette la scomposizione di gruppi complessi in sottogruppi più semplici.

Indice

1 Enunciato
2 Dimostrazione
- 2.1 Cardinalità di X
- 2.2 Azione di gruppo

[modifica] Enunciato

Dato un gruppo finito $G$ di ordine $\mid G \mid$ (ovvero contenente $\mid G \mid$ elementi), per ogni primo $p$ tale che $p r$ divide $| G |$ , esiste un sottogruppo di $G$ di ordine $p r$ .

[modifica] Dimostrazione

È sufficiente dimostrare il teorema per il più grande $p r$ che divide $| G |$ . Quindi $| G | = p r m$ e $p$ non è un divisore di $m$ . Sia allora $X$ l'insieme formato da tutti i sottoinsiemi di $G$ formati da $p r$ elementi.

[modifica] Cardinalità di $X$

La cardinalità di $X$ non è divisibile per $p$ . Infatti è pari a

$\sharp X = {p^r m \choose p^r} = \frac {(p^r m)(p^r m - 1) \ldots (p^r m - i) \ldots (p^r m - p^r + 1)} {(p^r)(p^r - 1) \ldots (p^r - i) \ldots 1}$

che non è divisibile per $p$ : oer ogni $i < p r$ , la massima potenza di $p$ che divide $p r m - i$ , divide anche $i$ , pertanto divide $p r - i$ . Segue che è possibile semplificare il numeratore e il denominatore di $\sharp X$ , in modo che non sia divisibile per $p$ .

[modifica] Azione di gruppo

Si consideri l'azione seguente di $G$ su $X$ è definita da:

$\begin{matrix} G \times X & \rightarrow & X \\ (g,A) & \mapsto & gA = \{ga \, | \, a \in A\}. \end{matrix}$

Le proprietà dell'azione implicano i fatti seguenti:

$|G| = |O_A| |\mbox{Stab}(A)| = \left |\frac G H \right | |\mbox{Stab}(A)|$ , dove

$\mbox{Stab}(A) = \{g \in G \, | \, gA = A \}$

è lo stabilizzatore di $A$ , e $O A$ è l'orbita di $A$ ;
la cardinalità di $X$ è la somma delle cardinalità delle orbite che lo compongono.

Inoltre, la funzione

$\begin{matrix} H & \rightarrow & A \\ h & \mapsto & ha_0 \end{matrix}$

è iniettiva: ne segue che

$|H| \leq \sharp A = p^r$ .

Poiché $p \nmid \sharp X$ , esiste certamente un'orbita $O A$ tale che $p \nmid \sharp O_A = \left |\frac{G}{H} \right |$ . Per ogni elemento $A'$ di questa orbita segue che : $|\mbox{Stab}(A')| = p^r\,\!$ .