Симметрический многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Симметри́ческий многочле́н — многочлен от n переменных $F (x 1, x 2,..., x n)$ , не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных.

[править] Примеры

Дискриминант - многочлен вида $D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2$ , где $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ - корни некого многочлена от одной переменной: $p (x) = a 0 + a 1 x + ... + a n x n$ .

Степенные суммы - суммы одинаковых степеней переменных, т.е. $F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n x_i^\alpha$

Основные симметрические многочлены - многочлены вида $\sigma_k(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{1\le j_1<j_2<\ldots <j_k\le n} x_{j_1} \cdots x_{j_k}$ , определенные для $k = 1, 2 \ldots n$ , т.е. такие:

$\begin{array}{lcr} \sigma_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=& x_1 + x_2 + \cdots + x_n \\ \sigma_2(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=& {x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + \cdots + {x_{n-1}}{x_n} \\ & \cdots & \\ \sigma_{n-1}(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=& {x_1}{x_2}\ldots{x_{n-1}} + {x_1}{x_2}\ldots{x_{n-2}}{x_n}+\cdots+{x_2}{x_3}\ldots{x_n}\\ \sigma_{n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=& {x_1}{x_2}\ldots{x_n}\\ \end{array}$

[править] Основная теорема теории симметрических многочленов

Основная теорема теории симметрических многочленов гласит, что любой симметрический многочлен может быть представлен единственным образом в виде многочлена от основных симметрических многочленов.