Процесс с независимыми приращениями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Проце́сс с незави́симыми прираще́ниями в теории случайных процессов - это обобщение понятия суммы независимых случайных величин.

Содержание

1 Определение
2 Замечание
3 Свойства
4 Примеры

[править] Определение

Случайный процесс $\{X_t\}_{t \in T}$ , где $T \subset [0,+\infty)$ называется процессом с независимыми приращениями, если для любых $t_0,t_1,\ldots,t_n \in T$ таких, что $0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_{n-1} < t_n$ , случайные величины : $X_{t_0},X_{t_1} - X_{t_0},\ldots,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$ независимы.

[править] Замечание

Пусть $T = \mathbb{N} \cup \{0\}$ . Положим $Y_n = X_n - X_{n-1},\; n \in \mathbb{N}$ . Тогда

$X_n = \sum\limits_{i=1}^n Y_i$ ,

и $\{Y_n\}_{n\ge 1}$ - независимые случайные величины.

[править] Свойства

Пусть $\{X_t\}_{t \in T}$ - случайный процесс, а $\phi_{X_t - X_s}$ - характеристическая функция случайной величины $X t - X r$ , где $t > r$ . Тогда ${X t}$ - процесс с независимыми приращениями тогда и только тогда, когда выполняется равенство