Proces Levy'ego

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Procesem Lévy'ego nazywamy proces stochastyczny $\{X_t, t \ge 0\}$ na przestrzeni probabilistycznej $(Ω, F, P)$ o wartościach w $R d$ spełniający następujące warunki:

$X 0 = 0$ , $P$ -p.w.,
dla każdego ciągu $0 \le t_0 < t_1 < \dots < t_n$ zmienne losowe $X_{t_0}, X_{t_1} - X_{t_0}, \dots, X_{t_n} - X_{t_{n-1}}$ są niezależne,
rozkład $X s + t - X s$ nie zależy od $s$ ,
proces $X t$ jest ciągły wg prawdopodobieństwa tzn. $lim_{s \to t} P(|X_s - X_t| > \varepsilon) = 0$ .

Proces stochastyczny spełniający powyższe warunki posiada modyfikację będącą prawostronnie ciągłym z lewostronnymi granicami (z ang. RCLL, z fr. càdlàg) procesem Lévy'ego.

[edytuj] Wzór Lévy'ego-Chinczyna

Rozkład procesu Lévy'ego w momencie t, $X t$ jest rozkładem nieskończenie podzielnym. Stąd istnieje eksponencjalne przedstawienie funkcji charakterystycznej procesu Lévy'ego w chwili t - tzw. wzór Lévy'ego-Chinczyna:

$E[e^{i<u,X_t>}] = e^{t\psi(u)}$ ,

gdzie

$\psi(u) = - \frac{1}{2}<u,Au> + i <b,u> + \int_{R^d - \{0\}} \left[e^{i<u,y>} - 1 - i<u,y> 1_{\| x\| \leq 1}(y)\right] \nu(dy),$

przy czym $ν$ jest miarą na $R d - {0}$ spełniającą warunek

$\int_{R^d - \{0\}} \left( \| y \|^2 \wedge 1 \right) \nu(dy) < \infty,$

a $A$ jest macierzą dodatnio określoną. Funkcję $ψ(u)$ nazywa się wykładnikiem charakterystycznym procesu Lévy'ego. Trójkę $(b, A,ν)$ nazywa się trójką charakterystyczną procesu. Zgodnie ze wzorem Lévy'ego-Chinczyna trójka charakterystyczna jednoznacznie określa proces.

Jeśli $\int_{R^d - \{0\}} \left( \| y \| \wedge 1 \right) \nu(dy) < \infty,$ , to wykładnik charakterystyczny można zapisać w postaci $\psi(u) = - \frac{1}{2}<u,Au> + i <b,u> + \int_{R^d - \{0\}} \left[e^{i<u,y>} - 1\right] \nu(dy),$

[edytuj] Dekompozycja Lévy'ego-Itô

Proces Lévy'ego można przedstawić jako sumę $X_t = b t + X^{(1)}_t + X^{(2)}_t + X^{(3)}_t$ , gdzie $X (1)$ jest wielowymiarym procesm Wienera z macierzą kowariancji $A$ , $X (2)$ jest to złożony proces Poissona o skokach większych niż 1, przy czym rozkład i intensywność skoków opisuje miara $\nu(y)1_{\|y\|>1}$ . Proces $X (3)$ to czysto skokowy martyngał.