Инвариантная производная по времени

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Инвариантная производная по времени — это производная по времени инерциальной системы отсчёта (ИСО) отнесённая к её координатной сетке. В самой ИСО инвариантная производная по времени есть просто обычная производная по времени: $\frac{\partial}{\partial t}$ . В неинерциальной системе отсчёта (НСО), инвариантная производная по времени состоит из суммы обычной производной по времени $\frac{\partial}{\partial t}$ и дополнительных слагаемых связанных со скоростью $V i$ движения координатной сетки НСО относительно координатной сетки ИСО. Поле скоростей может быть неоднородным $V i (x)$ и, в общем случае, зависеть от времени $V i (x, t)$ . Так например, в НСО связанной с неравномерно вращающимся колесом, поле скоростей неоднородно в пространстве и во времени. Поскольку поле скоростей $V i (x, t)$ есть относительная скорость движения координатных сеток, которые не являются материальными объектами, то эта скорость, по величине, может превышать скорость света, и даже быть бесконечной. Ни какого противоречия со специальной теорией относительности (СТО) при этом, конечно же, не происходит. Например, поле скоростей НСО связанной с вращающимся колесом на достаточно большом расстоянии от центра вращения по величине превышает скорость света и стремится к бесконечности при дальнейшем удалении от центра.

Обозначим посредством $\bar{x}$ — координаты в ИСО, и $x(\bar{x}, t)$ — координаты в НСО. Тогда скорость движения координатной сетки НСО относительно координатной сетки ИСО есть:

$V^i(x, t) = \frac{\partial x^i(\bar{x}, t)}{\partial t}$

Инвариантная производная по времени от скаляра $F (x, t)$ в НСО есть:

$D_t F(x, t) = \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial x^i}\frac{\partial x^i}{\partial t} = \frac{\partial F}{\partial t} + V^i(x, t) \frac{\partial F}{\partial x^i}$ .

Инвариантная производная по времени от тензоров имеет дополнительные слагаемые связанные с преобразованием их компонент при переходе из одной системы координат в другую $\bar{x} \to x(\bar{x}, t)$ . Так например, для векторов и ковекторов имеем:

$A^i = \frac{\partial x^i}{\partial \bar{x}^j}\bar{A}^j$ ;

$A_i = \frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^i}\bar{A}_j$ .

Следовательно,

$D_t A^i = \frac{\partial A^i}{\partial t} + V^j \frac{\partial A^i}{\partial x^j} - A^j \frac{\partial V^i}{\partial x^j}$ ;

$D_t A_i = \frac{\partial A_i}{\partial t} + V^j \frac{\partial A_i}{\partial x^j} + A_j \frac{\partial V^j}{\partial x^i}$ .

Аналогично вычисляются инвариантные производные по времени от тензоров высших рангов.

Важным свойством инвариантной производной по времени является то, что все производные по пространственным координатам $\frac{\partial}{\partial x^i}$ в правых частях приведённых выше выражений можно заменить на ковариантные производные согласованные с метрикой пространства $d l 2 = γ i j d x i d x j$ . То есть,

$D_t A^i = \partial_t A^i + V^j A^i_{;j} - A^j V^i_{;j}$ ,

$D_t A_i = \partial_t A_i + V^j A_{i;j} + A_j V^j_{;i}$ ,

при этом слагаемые со связностями Кристоффеля взаимно сокращаются.

Рассмотренные выше «добавки» к обычным производным по времени являются Ли — вариациями (или, иначе, производными Ли) тензорных полей вдоль векторного поля $V i$ , которые были изучены выдающимся норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899).

Всем известные центробежное и кориолисово ускорения, появляющиеся во вращающейся НСО, суть дополнительные слагаемые в инвариантной производной по времени от вектора скорости движущейся материальной точки.

[править] Литература

Д. Е. Бурланков, Динамика пространства. Монография 2005 г. 179 стр.

Категория: Базовые понятия физики

Инвариантная производная по времени

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Литература

Views

Навигация

Участие

Поиск