Exponenciação

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OPERAÇÕES MATEMÁTICAS

Aritmética

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Exponenciação

Lógica

Exponenciação ou potenciação é uma operação aritmética que indica a multiplicação de uma dada base por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente, e é a operação matemática oposta à radiciação.

${{a^n = } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times \cdots \times a}} \atop n}$

Nesse caso, a base seria a e o expoente n, sendo n um número natural maior do que 1.

A exponenciação é representada por um número e o expoente sobrescrito (por exemplo, 2³), ou com um circunflexo separando a base do expoente (2^3).

Índice

1 Definindo exponenciação
2 Sintaxe em linguagens de programação e programas
3 Ver também

[editar] Definindo exponenciação

Gráfico da função exponencial (base 2)

As potências são explicadas em uma série de passos envolvendo matemática básica.

[editar] Expoentes inteiros negativos

Elevar um número (exceto 0) à potência -1 produz seu inverso.

$\,\!a^{-1}=\left (\frac{1}{a}\right )$

Então:

$\,\!a^{-n}=a^{-1.n}={(a^{-1})}^n={\left (\frac{1}{a}\right )}^{n}=\frac{1^n}{a^{n}}=\frac{1}{a^{n}}$

Elevando 0 a uma potência negativa implicaria uma divisão por 0, sendo assim indefinido.

Um expoente inteiro negativo também pode ser visto como uma divisão pela base. Logo:

$3^{-5}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\left (\frac{1}{3}\right )^5=\frac{1}{3^5}$

[editar] Expoentes um e zero

qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo.

$\,\!n^1=n$

qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1.

$\,\!n^0=n^1\cdot n^{-1}=n\cdot\frac{1}{n}=1$

[editar] Indeterminações

Na exponenciação, é possível chegar à formas de indeterminação a seguir:

$\,\!0^0$
$\,\!0^{n}$ , quando $\,\!n<0$
$\,\!\infty^0$

[editar] Potências cujo expoente não altera o resultado

[editar] Potências de 0

As potências de 0 são as potências de base 0, dados por $0 n$ n>0. Não importa o valor de "n", o resultado será sempre 0.

[editar] Potências de 1

As potências de 1 são as potências de base 1, dados por $1 n$ , sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de "n", $1 n$ será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a 1.

[editar] Potências de 10

Batatinhas vendidas de 10 em 10 são fáceis de se trabalhar pois usamos um sistema decimal. Por exemplo, $106$ é igual a um milhão, que é 1 seguido de 6 zeros. Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para descrever números muito grandes ou pequenos em notação científica; por exemplo, 299792458 (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2.99792458 × $108$ e então aproximada para 2.998 × $108$ . Os prefixos do sistema internacional de unidades também são utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa $103$ = 1000, logo, um quilometro é igual a 1000 metros.

[editar] Potências de 2

Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por exemplo, existem $2 n$ valores possíveis para uma variável que ocupa n bits da memória. 1 kilobyte = $210$ = 1024 bytes. Como pode haver confusão entre os significados padrões dos prefixo, em 1998 a Comissão Eletrotécnica Internacional aprovou vários prefixos binários novos. Por exemplo, o prefixo de multiplos de 1024 é kibi-, então 1024 bytes é equivalente a um kibibyte. Outros prefixos são mebi-, gibi- e tebi-.

[editar] Expoentes fracionários

No caso de expoente fracionário, o denominador do expoente é o índice da raíz e o numerador é o expoente do radicando.

$x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^a}$

[editar] Expoentes decimais

No caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em fração e depois em raiz.

$x^{1,5} = x^{\frac{15}{10}} = \sqrt[10]{x^{15}}$

[editar] Expoentes irracionais

Como a exponenciação tem a propriedade de que expoentes próximos geram resultados próximos (essa noção pode ser tornada mais precisa usando-se o conceito de continuidade), pode-se definir expoentes irracionais:

$x^\pi \approx x^{3.14159}\,$

[editar] Sintaxe em linguagens de programação e programas

A maioria das linguagens de programação fornece métodos para executar a exponenciação, porém eles variam entre as diversas linguagens:

x ^ y: Basic, Matlab e vários outros
x ** y: Fortran, Perl, Python, Ruby, Bash
Power(x, y): Excel
pow(x, y): C, C++
Math.pow(x, y): Java, JavaScript
Em pascal não existe a função correspondente, podendo ser utilizado no lugar, por exemplo, a função logarítimo (função ln()) juntamente com a exponencial (função exp()) (ambos na base e), na forma exp(y * ln(x)), ou até mesmo um ciclo de repetição, com multiplicações sucessivas.

Um cuidado deve ser tomado: como, normalmente, os compiladores traduzem a potenciação pela expressão exp(y * ln(x)), quando $x <= 0\,$ e y for inteiro, o compilador costuma dar erro, mesmo havendo uma resposta única.