Equação do tempo

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Face de um relógio de sol mostrando as curvas analemáticas, isto é as linhas indicando, para cada época do ano, a diferença entre o tempo solar aparente e o tempo civil.

A equação do tempo é a forma de determinação da evolução anual da diferença entre a posição real em cada momento do Sol no firmamento e a posição que ele ocuparia nesse momento se o eixo da Terra fosse perpendicular à eclítica e a órbita terrestre circular.

Índice

1 Causas e consequências
2 Tempo solar aparente e tempo solar médio
3 A equação do tempo
4 Ligações externas

[editar] Causas e consequências

A equação do tempo resulta da combinação do efeito da excentricidade da órbita terrestre com a inclinação do eixo de rotação da Terra em relação à eclítica. Em termos práticos, a equação do tempo reflecte a diferença entre a hora marcada por um relógio solar, isto a hora estimada a partir da posição do Sol no firmamento, ou tempo solar aparente, e a hora sideral (ou a hora civil), determinada pelo tempo solar médio.

Durante o decurso do ano, a diferença entre aquelas horas pode variar entre um avanço da posição do Sol em relação ao tempo solar médio de 16 min 33 s (por volta de 31 de Outubro–1 de Novembro) e um atraso de 14 min 6 s (por volta de 11–12 de Fevereiro).

O ciclo anual de evolução da equação do tempo pode ser representado graficamente marcando a posição do Sol no céu à mesma hora em cada dia do ano, o que origina uma figura em forma de 8 assimétrico designada por analema.

[editar] Tempo solar aparente e tempo solar médio

Relógio de sol (em Maiorca) com correcção analemática por forma a permitir ler a hora civil.

A rotação da Terra fornece um relógio natural adequado para a maioria das actividades humanas, já que o tempo despendido em cada revolução apenas varia umas fracções de segundo em cada ano, tornando-o, para a maioria dos efeitos práticos, num valor constante. Para medir o tempo pela rotação da Terra é apenas necessário determinar um ponto de referência a partir do qual iniciar a contagem. A escolha pode recair sobre uma estrela, com o inconveniente de apenas poder ser observada à noite, ou, com maior facilidade, recorrendo à evolução da posição do Sol no firmamento.

A facilidade de observar o Sol levou, desde a antiguidade, à construção de relógios de sol, nos quais, através da projecção da sombra de um objecto adequado (o gnómon) sobre uma escala construída com base na observação diária do Sol, é possível determinar com alguma exactidão a hora. Esta hora, determinada com base na posição do Sol no firmamento, é chamada tempo solar aparente.

Observando a evolução anual da sombra, e comparando a hora assim determinada com a hora estimada por outros meios, tornou-se patente que a hora solar aparente e o tempo solar médio, aquele que é utilizada para determinar de forma uniforme o tempo civil, nem sempre coincidiam. A invenção dos relógios mecânicos, cuja hora não depende directamente da posição do Sol, veio tornar ainda mais clara essa diferença.

As razões que determinam a diferença entre os tempos solares aparente e médio prendem-se com o facto da posição do Sol não ser determinada apenas pelo movimento de rotação da Terra em torno do seu eixo, mas também pela translação da Terra em torno do Sol. A explicação seguinte demonstra como a interacção entres estes dois movimentos, e deles com a inclinação do eixo de rotação da Terra em relação ao plano da respectiva órbita em torno do Sol, causam a diferença apontada.

[editar] Velocidade angular média aparente do Sol

Para começar, é necessário ter-se em conta que o diâmetro do disco solar, conforme visto da superfície da Terra projectado sobre a esfera celeste, excluindo os efeitos atmosféricos, cobre cerca de 1/2 grau, ou seja 30’ (minutos de grau). Por isso o movimento aparente do Sol fará com que a sua velocidade angular seja equivalente a metade do seu diâmetro (raio aparente do Sol = 1/4º) em cada 1 minuto, já que:

$\frac{24\ {\rm h}}{360^\circ} \times \frac{60\ {\rm min}}{1\ {\rm h}} \times \left(\frac{1}{4}\right)^\circ = 1\ {\rm min}$

Logo, da observação de um relógio solar seria de esperar que entre o meio-dia de dias consecutivos decorressem exactamente 24 horas, ou seja 86 400 s, já que:

$\frac{24\ {\rm h}}{1}\times \frac{60\ {\rm min}}{1\ {\rm h}}\times \frac{60\ {\rm s}}{1\ {\rm min}} = 86400\ {\rm s}$

Ora, pelas razões a seguir explicadas, não é isso que acontece.

[editar] Efeito da obliquidade do eixo da Terra

Evolução diária da diferença entre o tempo solar aparente e o tempo solar médio.

O período de rotação da Terra em torno do seu eixo é de 23 h 56 min 4 s, e não de 24 h tal como está definido para o dia civil. Tal acontece porque a Terra tem de rodar 366 vezes para que o Sol nasça e se ponha as 365 vezes correspondentes aos dias do ano. Para ganhar esta volta extra, cada dia sideral tem de ser mais curto que o dia solar médio exactamente 1/366 do dia, ou seja:

$\frac{1\ {\rm dia}}{366} \times \frac{24\ {\rm h}}{1\ {\rm dia}} \times \frac{60\ {\rm min}}{1\ {\rm h}} = 3\ {\rm min}\ 56\ {\rm s}$

Para complica a situação, é preciso não perder de vista que este valor é apenas uma média anual, já que o eixo de rotação da Terra não é perpendicular ao plano da sua órbita torno do Sol, antes faz com este um ângulo de 23º 27'. Logo, quando o Sol se encontra próximo dos solstícios, ou seja com a máxima declinação, a sua trajectória é oblíqua, e, em resultado disso, por cada 1º percorrido pelo Sol no céu, para um observador na superfície da Terra ele parecerá percorrer:

$\frac{1^\circ}{\cos 23,44^\circ } = 1,0899^\circ\,$

Assim, a velocidade angular do Sol aparenta ser cerca de 9% maior naqueles períodos, pelo que os 3 min e 56 s de diferença entre o dia sideral e o dia solar variam por um factor de 1,09, passando a ser 4 min e 17 s. Obviamente, nos restantes períodos do ano, uma correspondente redução deve ocorrer, passando, próximo dos equinócios, a diferença a ser apenas 3 min 17 s. Este ciclo é repetido duas vezes por ano, com a aproximação de cada equinócio ou solstício.

Daqui se conclui que devido à inclinação do eixo da Terra, o tempo solar, medido pela passagem meridiana do Sol, pode ganhar ou perder 20,3 s/dia, dependendo da época do ano. Embora pareça pouco, tenha-se em conta que se os tempos solar e civil estiverem sincronizados num dia, passado mês e meio terá sido acumulado um significativo erro de 9,8 minutos.

Em consequência destas diferenças de velocidade angular aparente, na Primavera e no Outono, ou seja em torno dos equinócios, a hora civil está adiantada em relação à hora solar aparente. Pelo contrário, no Verão e no Inverno, isto é, em torno dos solstícios, está atrasada.

A linha verde na figura em cima à direita mostra a contribuição da obliquidade do eixo terrestre para o desvio horário total. Note-se que a curva é sinusoidal, com um período aproximado de 6 meses.

[editar] Efeito da elipticidade da órbita da Terra

Outro factor importante, embora quantitativamente menos significativo, que contribui para a diferença entre o tempo solar aparente e o tempo civil é a excentricidade da órbita da Terra. O nosso planeta, como todos os astros em órbitas fixas em torno de outros, tem de obedecer às leis de Kepler. Em resultado, a velocidade da Terra no seu movimento de translação não é constante, variando em função da sua distância ao Sol.

No seu periélio, a 3–4 de Janeiro, a Terra está 1,67% mais próxima do Sol que a sua distância média. Para permitir a conservação do momento angular, o planeta sofre um aumento na velocidade angular de 3,37% em relação à velocidade média. Esse aumento de velocidade implica que, naquela data, o dia solar seja cerca de 7,9 s mais longo que o dia sideral, pois:

$\frac{3\ {\rm min}\ 56\ {\rm s}}{1\ {\rm dia}} \times 0.0337 = 7.9\ {\rm s/dia}$

Assim, no decurso das 13 semanas em torno do periélio, o desvio entre o tempo solar e o tempo civil cresce até aos 7,6 minutos.

Em torno do afélio, que a Terra atinge, consoante o ano, de 3 a 6 de Julho, o efeito contrário ocorre, com o correspondente abrandamento da velocidade angular e encurtamento do dia solar. Daí que a contribuição da elipticidade para a equação do tempo, a azul na figura do canto superior direito, seja também sinusoidal, mas com período anual (na realidade um pouco maior do que o ano devido à precessão do periélio da Terra).

[editar] A equação do tempo

A equação do tempo, representada pela curva a vermelho na figura acima à direita, é assim o somatório das diferenças entre a hora solar aparente e a hora civil resultantes da combinação de dois efeitos:

O efeito da obliquidade do eixo da Terra (a verde na figura), uma sinusóide com período semestral e amplitude máxima aproximada de 9,7 minutos. Este efeito é dominante, impondo o andamento e forma geral da equação do tempo.
O efeito da elipticidade da órbita terrestre (a azul na figura), uma sinusóide com período pouco mais longo do que o ano e uma amplitude máxima aproximada de 7,6 minutos.

A soma dos dois efeitos, como aliás acontece com quaisquer fenómenos com carácter periódico, leva a que em certas épocas do ano, quando estão em fase, se reforcem mutuamente, aumentando a amplitude da resultante, enquanto noutras épocas se atenuam, reduzindo a amplitude do fenómeno.

[editar] Máximos e mínimos

Dessa combinação de amplificação e atenuação resulta o seguinte andamento geral da curva, expresso em termos do desvio entre o tempo solar aparente e o tempo solar médio (hora civil):

4 pontos nulos (desvio = 0 minutos) — 15 de Abril, 13 de Junho, 1 de Setembro e 25 de Dezembro;
2 máximos — a 14 de Maio (cerca de + 4 minutos) e a 3 de Novembro (cerca de + 16 minutos);
2 mínimos — a 12 de Fevereiro (− 14,5 minutos) e a 25 de Julho (− 6,5 minutos).

[editar] Formulação matemática da curva (I)

A equação do tempo, sendo a soma de duas curvas sinusoidais não síncronas, com um período seis meses e de um ano, respectivamente, pode ser aproximado pela seguinte expressão:

$E = 9.87\sin(2B) - 7.53\cos(B) - 1.5\sin(B)\!\,$

onde $E\!\,$ é expresso em minutos, e

$B = 360^\circ(N - 81)/364\!\,$ se o $sin\!\,$ e $cos\!\,$ forem expressos em graus;

$B = 2\pi(N - 81)/364\!\,$ se o $sin\!\,$ e $cos\!\,$ forem expressos em radianos,

e onde $N\!\,$ é o número do dia, isto é, $N =1\!\,$ para 1 de Janeiro, $N =2\!\,$ para 2 de Janeiro, e assim por diante.

A expressão apenas fornece uma aproximação do valor real, mas produz erros inferiores a 1 minuto, pelo que pode ser utilizada para a maioria dos fins comuns.

[editar] Formulação matemática da curva (II)

A seguinte é uma formulação alternativa, mais fácil de utilizar recorrendo a uma calculadora de bolso ou uma folha de cálculo, sendo que nela $Z(t)\!\,$ é o valor da equação do tempo para o dia $t\!\,$ , sendo este um qualquer dia do ano representado no intervalo 0 a 364 (0 é 1 de Janeiro; 1 é 2 de Janeiro, e assim por diante):