Algoritmo de Floyd-Warshall

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Na ciência da computação, o algoritmo de Floyd-Warshall (às vezes chamado de algoritmo de Roy-Floyd ou algoritmo de Warshall) é um algoritmo que resolve o problema de calcular o caminho mais curto entre todos os pares de vértices em um grafo orientado (com direção) e valorado(com peso). Sua complexidade é cúbica.

[editar] Algoritmo

O algoritmo de Floyd-Warshall recebe como entrada uma matriz de adjacências que representa um grafo (V,E) orientado e valorado. O valor de um caminho entre dois vértices é a soma dos valores de todas as arestas ao longo desse caminho. As arestas E do grafo podem ter valores negativos, mas o grafo não pode conter nenhum ciclo de valor negativo. O algoritmo calcula, para cada par de vértices, o menor (i.e., de menor custo) de todos os caminhos entre os vértices. Sua ordem de complexidade é Θ(|V|³).

O algoritmo se baseia nos passos abaixo:

Assumindo que os vértices de um grafo orientado G são V = {1,2,3,...,n}, considere um subconjunto {1,2,3,...,k};
Para qualquer par de vértices (i, j) em V, considere todos os caminhos de i a j cujos vértices intermediários pertencem ao subconjunto {1,2,3,...,k}, e p como o mais curto de todos eles;
O algoritmo explora um relacionamento entre o caminho p e os caminhos mais curtos de i a j com todos os vértices intermediários em {1,2,3,...,k−'};
O relacionamento depende de k ser ou não um vértice intermediário do caminho p.

Abaixo segue uma implementação em pseudo-código do algoritmo de Floyd-Warshall:

function fw(int[1..n,1..n] graph) {
    // Initialization
    var int[1..n,1..n] dist := graph
    var int[1..n,1..n] pred
    for i from 1 to n
        for j from 1 to n
            if dist[i,j] < Infinity
                pred[i,j] := i
    // Main loop of the algorithm
    for k from 1 to n
        for i from 1 to n
            for j from 1 to n
                if dist[i,j] > dist[i,k] + dist[k,j]
                    dist[i,j] = dist[i,k] + dist[k,j]
                    pred[i,j] = pred[k,j]
    return dist
}

[editar] Aplicações

O algoritmo de Floyd-Warshall pode ser utilizado para resolver os problemas abaixo:

Caminhos mais curtos em grafos orientados (algoritmo de Floyd). Para isto funcionar, os valores de todas as arestas são configurados para o mesmo número positivo. Esse número é normalmente escolhido como único, tanto é que o valor de um caminho coincide com o número de arestas ao longo desse caminho;
Proximidade transitiva de grafos orientados (algoritmo de Warshall). Na formulação original deste último, o grafo se torna desvalorado (perde valores) e é representado por uma matriz booleana de adjacência. Depois, a operação de soma é substituída por conjunção lógica (AND) e a operação de subtração por disjunção lógica(OR);
Encontrar uma expressão regular denotando a linguagem regular aceita por um autômato finito (algoritmo de Kleene);
Inversões de matrizes de números reais (algoritmo de Gauss-Jordan). Veja o exemplo de implementação em Python para detalhes;
Roteamento otimizado. Nesta aplicação, alguém está interessado em encontrar o caminho com o máximo fluxo entre dois vértices. Isto significa que, em vez de calcular o mínimo no pseudo-código acima, calcula-se o máximo. Os pesos da aresta representa contantes fixas de fluxo. Valores do caminho representam gargalos, logo a operação de soma acima é substituída pela operação de subtração;
Testar se um grafo não-orientado é bipartido.