Porządek liniowy
Z Wikipedii
Porządek liniowy – częściowy porządek będący zarazem łańcuchem, czyli w którym każde dwa elementy rozpatrywanego zbioru są porównywalne.
Spis treści |
[edytuj] Definicja formalna
Porządek liniowy to porządek częściowy na danym zbiorze X spełniający warunek
.
Parę uporządkowaną nazywa się wtedy zbiorem liniowo uporządkowanym lub też zbiorem całkowicie uporządkowanym.
[edytuj] Pojęcia
Niech będzie zbiorem uporządkowanym liniowo oraz
. Zgodnie z ustaloną tradycją, przez
oznaczamy ostrą wersję porządku, tzn. relację zdefiniowaną przez
.
- Mówimy, że
jest porządkiem bez końców, jeśli w X nie ma ani największego ani najmniejszego elementu, tzn. jeśli zachodzi
oraz
.
- Powiemy, że A jest gęstym podzbiorem X, jeśli jest
.
jest porządkiem gęstym, jeśli X jest gęstym podzbiorem X.
- Zbiór A jest ograniczony z góry, jeśli
.
jest porządkiem zupełnym, jeśli każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór X ma kres górny.
[edytuj] Przykłady
- Relacje większe lub równe na zbiorze liczb całkowitych, wymiernych czy rzeczywistych są porządkami liniowymi.
- Szczególnym przypadkiem porządku liniowego jest dobry porządek.
- Porządek leksykograficzny
na płaszczyźnie
jest porządkiem liniowym:
.
[edytuj] Własności
- Jeśli
jest porządkiem liniowym na zbiorze X oraz
, to obcięcie
porządku
do zbioru Y jest porządkiem liniowym (na Y).
- Georg Cantor udowodnił następujące twierdzenie: każdy przeliczalny gęsty porządek liniowy bez końców jest izomorficzny ze zbiorem liczb wymiernych (z naturalnym porządkiem).
- Przypuśćmy że
jest gęstym porządkiem liniowym bez końców. Wówczas istnieje zupełny porządek liniowy bez końców
taki że
i obcięcie
zgadza się z
oraz X jest gęstym podzbiorem Y.
- Porządek
jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
[edytuj] Porządki liniowe z dodatkową strukturą
W wielu dziedzinach matematyki rozważa się relację porządku liniowego jako "dodatek" do innych struktur albo jako "narzędzie" do konstruowania przykładów rozważanych struktur.
[edytuj] Przedziałowe algebry Boole'a
Przypuśćmy że jest porządkiem liniowym w którym istnieje element najmniejszy. Dla
niech
będzie lewostronnie domkniętym przedziałem w X.
Niech będzie rodziną złożoną ze zbioru pustego oraz tych wszystkich podzbiorów X które mogą być przedstawione jako
dla pewnych elementów
spełniających nierówności
,
. Wówczas
jest ciałem podzbiorów X. Algebra Boole'a
jest nazywana algebrą przedziałową wyznaczoną przez
.
[edytuj] Topologia porządkowa
Niech będzie jest porządkiem liniowym. Dla
niech
będzie przedziałem otwartym w X. Wówczas rodzina
![{\mathcal B}=\big\{(x,y):x\sqsubset y\big\}\cup\big\{(-\infty,x):x\in X\big\}\cup\big\{(x,\infty): x\in X\big\}\cup\{X\}](../../../math/4/0/a/40a6fbabfed16973c9f46b0a3f7030e4.png)
pokrywa X i jest zamknięta na skończone przekroje. Dlatego też jest bazą pewnej topologii τ na X. Topologię tę nazywamy topologią porządkową lub czasami topologią przedziałową.
[edytuj] Porzadki liniowe na strukturach algebraicznych
W algebrze rozważa się czasami struktury algebraiczne które dodatkowo są wyposażone w relację porządku liniowego w pewnym sensie zgodnego z operacjami algebraicznymi.
- Grupa liniowo uporządkowana to trójka
taka że
jest grupą,
jest porządkiem liniowym na G, oraz
- dla dowolnych
, jeśli
to zarówno
jak i
.
- Ciało uporządkowane to
gdzie
jest ciałem,
jest porządkiem liniowym na F, oraz
- dla dowolnych
,
-
-
- jeśli
to
, oraz
- jeśli
i
to
.
- jeśli
-