Jakobian

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Niech będzie dany układ n funkcji n zmiennych

$y_1 = f_{1}(x_1, x_2, \cdots, x_n)$

$y_2 = f_{2}(x_1, x_2, \cdots, x_n)$

$\vdots$

$y_n = f_{n}(x_1, x_2, \cdots, x_n)$

określonych w pewnym n-wymiarowym obszarze $\mathcal{D}$ i mających w nim ciągłe cząstkowe pochodne względem wszystkich zmiennych.

Jakobianem tego układu nazywamy wyznacznik dany wzorem

$J=\begin{vmatrix} {{\partial y_1} \over {\partial x_1}} & {{\partial y_1} \over {\partial x_2}} & \cdots & {{\partial y_1} \over {\partial x_n}}\\ {{\partial y_2} \over {\partial x_1}} & {{\partial y_2} \over {\partial x_2}} & \cdots & {{\partial y_2} \over {\partial x_n}}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {{\partial y_n} \over {\partial x_1}} & {{\partial y_n} \over {\partial x_2}} & \cdots & {{\partial y_n} \over {\partial x_n}} \end{vmatrix} = {D(y_1, y_2, \cdots, y_n) \over D(x_1, x_2, \cdots, x_n)}$

zbudowany z pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu funkcji $f_1, f_2, \cdots, f_n$

Jakobian nazywa się też inaczej wyznacznikiem funkcyjnym Jacobiego układu.

Nazwa "jakobian" pochodzi od nazwiska Carla Gustawa Jacobiego.

[edytuj] Własności

Dla jakobianów zachodzi następująca własności:

Do pierwszego układu z tego artykułu dopiszmy poniższy układ funkcji

$x_1 = \mu_{1}(p_1, p_2, \cdots, p_n)$

$x_2 = \mu_{2}(p_1, p_2, \cdots, p_n)$

$\dots$

$x_n = \mu_{n}(p_1, p_2, \cdots, p_n)$

wtedy otrzymamy wzór

${D(y_1, y_2, \cdots, y_n) \over D(x_1, x_2, \cdots, x_n)}{D(x_1, x_2, \cdots, x_n) \over D(p_1, p_2, \cdots, p_n)} = {D(y_1, y_2, \cdots, y_n) \over D(p_1, p_2, \cdots, p_n)}$

będący ogólnym wzorem na pochodną funkcji złożonej.

[edytuj] Przykłady

Przykład 1

Dla nastpującego przekształcenia

$u(x, y) = x^2 + x \cdot y^3$

$v(x, y) = x \cdot y + 1$

jakobian oblicza się następująco:

$J = {\begin{vmatrix} {\partial u \over \partial x} & {\partial u \over \partial y} \\ {\partial v \over \partial x} & {\partial v \over \partial y} \end{vmatrix}} = \begin{vmatrix} {{\partial (x^2+y^3 \cdot x)} \over {\partial x}} & {{\partial (x^2+y^3 \cdot x)} \over {\partial y}}\\ {{\partial (x\cdot y+1)} \over {\partial x}} & {{\partial (x\cdot y+1)} \over {\partial y}} \end{vmatrix} =\begin{vmatrix}2x+y^3 & 3y^2x \\ y & x \end{vmatrix}=2x^2+xy^3-3xy^3=2x^2-2xy^3$

Przykad 2

Wyznaczyć jakobian układu funkcji

$x(u, v, t) = \cos u \,$ ,

$y(u, v, t) = \sin u \cos v \,$ ,

$z(u, v, t) = \sin u \sin v \cos t \,$

Rozwiązanie

$J = {D(x, y, z) \over D({\color{Brown}u}, {\color{blue}v}, {\color{Peach}t})} = {\begin{vmatrix} {\partial x \over \partial u} & {\partial x \over \partial v} & {\partial x \over \partial t} \\ {\partial y \over \partial u} & {\partial y \over \partial v} & {\partial y \over \partial t} \\ {\partial z \over \partial u} & {\partial z \over \partial v} & {\partial z \over \partial t} \end{vmatrix} } = \begin{vmatrix} -\sin {\color{Brown}u} & 0 & 0 \\ \cos {\color{Brown}u} \ cos {\color{blue}v} & - \sin {\color{Brown}u} \sin {\color{blue}v} & 0 \\ \cos {\color{Brown}u} \ sin {\color{blue}v} \ cos {\color{Peach}t} & \sin {\color{Brown}u} \ cos {\color{blue}v} \ cos {\color{Peach}t} & - \sin {\color{Brown}u} \ sin {\color{blue}v} \ sin {\color{Peach}t} \end{vmatrix} =$