Matrise

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

En matrise er et sentralt begrep innenfor lineær algebra og fremstilles som regel som en rektangulær tabell av tall. Tallene i matrisen er vanligvis reelle eller komplekse tall. Mer generelt er de elementer i en ring. Begrepet «matrise» ble innført av James Joseph Silvester i 1850.

Matriser brukes ofte for å holde orden på koeffisientene i lineære ligningssystemer eller lineærtransformasjoner.

Innhold

1 Definisjon og notasjon
2 Matriseaddisjon
3 Matrisemultiplikasjon
4 Determinanten til en kvadratisk matrise

[rediger] Definisjon og notasjon

De horisontale rekkene av elementer i matrisen kalles rader, mens de vertikale rekkene kalles søyler. En matrise med m rader og n søyler kalles en m × n-matrise. Tallene m og n er dimensjonene til matrisen. Tallene i matrisen kalles elementer. Matriser skrives som en tabell med tall, mellom parenteser eller klammer:

$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}$

Notasjonen a_ij refererer til elementet i den i´te raden, og den j´te søylen. Man kan da også skrive $A = \Big(a_{ij}\Big).$

[rediger] Matriseaddisjon

Hvis A og B er matriser med samme dimensjon (nxn-matrise), får man summen A + B ved å legge sammen de respektive elementene. Det vil si at hvis $A = \Big(a_{ij}\Big)$ og $B = \Big(b_{ij}\Big)$ , så er $A+B = \Big(a_{ij}+b_{ij}\Big).$ Hvis A og B ikke har samme dimensjon, er ikke summen definert.

[rediger] Matrisemultiplikasjon

Dersom $A$ er en $m x n$ matrise, og $B$ er en $n x l$ matrise, så kan man definere produktmatrisen $C = A B$ ved at $C$ s matriseelementer er gitt ved summen:

$c_{ik} = \Sigma_{j=1}^n a_{ij} b_{jk}$ .

Produktmatrisen $C$ vil da være en $m x l$ matrise.

Her er $a i j .$ og $b j k .$ matriseelementene til $A$ og $B$ .

[rediger] Determinanten til en kvadratisk matrise

Er matrisen $A$ kvadratisk, d.v.s. $m = n$ , kan en beregne et tall $| | A | |$ som kalles determinanten til $A$ og som beregnes ved å summere produkter av $A$ s matriseelementer efter formelen:

$||A||= \Sigma_P sgn(P) a_{1i_1} a_{2i_2} ... a_{ni_n}.$

Her skal det summeres over alle permutasjoner $P = (i 1, i 2 .... i n)$ av tallene (1,2, ... n), der $s g n (P)$ er permutasjonens signatur. Se under permutasjoner for en mer utførlig redegjørelse av hvordan en permutasjons signatur beregnes.