Vektor

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

En vektor (fra latin ve'ctor latin «bærer»; avledet av det latinske verbet vehere, «å bære») er et matematisk objekt som har både størrelse og retning. Vektorer behandles i lineær algebra. De to grunnleggende regneoperasjonene for vektorer er addisjon og multiplikasjon med skalarer. Primært forekommer vektorer innen Euklidsk geometri som vektorer i planet og vektorer i rommet, men vektorer har også mange andre bruksområder, for eksempel innen fysikk, mekanikk, økonomi, pc-verdenen og som eksperimentelle måledata. En hovedidé er å overføre geometriske tenkemåter for å oppnå en dypere innsikt om vektorene i de andre sammenhengene.

To vektorer fra ulike kontekster kan ikke uten videre adderes. Det er for eksempel absurd å forsøke å legge sammen en hastighetsvektor med en vektor bestående av aksjekurser. For å kunne addere må de to vektorene tilhøre samme vektorrom. Hvilket vektorrom en gitt vektor tilhører vil enten være eksplisitt spesifisert, eller gå frem av konteksten.

I mange tilfeller har vektorer en norm. Til et par av vektorer kan det være tilordnet et indreprodukt (også kalt prikkprodukt eller skalarprodukt).

Innhold

1 Notasjon
2 Vektorer i planet
- 2.1 Geometrisk definisjon
- 2.2 Ved bruk av koordinater
3 Vektorer i rommet
- 3.1 Geometrisk definisjon
- 3.2 Ved bruk av koordinater
4 Euklidske n-rom
5 Vektorer i fysikk
6 Vektorer i grafikk
7 Se også

[rediger] Notasjon

Det finnes flere notasjoner for vektorer. I håndskrift er det vanlig med pil over, mens fet skrift er vanlig i trykt tekst. Vektoren v kan dermed skrives både $\vec v$ og v. Generelt kan også vanlige symboler brukes, uten noen spesiell notasjon, dvs. en skriver kun v. Det siste er vanlig i deler av matematikken og for fire-vektorer i relativitetsteoriene.

Hvis en vektorbasis er gitt, kan også vektoren representeres ved hjelp av sine vektorkomponenter. Disse skrives som en liste i firkantparenteser eller vanlige parenteser, f.eks. for en vektor med tre komponenter v=[v₁,v₂,v₃]. Vektorkomponentene kan også skrives ved hjelp av indekser, slik som v_i er komponent nummer i av vektoren v.

[rediger] Vektorer i planet

Vektorer i planet kan defineres på to ekvivalente måter. Disse er som følger:

[rediger] Geometrisk definisjon

En vektor i planet er angitt som en pil i planet fra sitt startpunkt til sitt endepunkt. To piler representerer samme vektor dersom den ene kan parallellforskyves slik at den sammenfaller med den andre vektoren. Således er vektorer i planet uforandret så lenge lengden og retningen er den samme.

La $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v}$ være vektorer i planet og la $k$ være en skalar.

Summen $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ defineres geometrisk ved å parallellforskyve $\mathbf{v}$ slik at $\mathbf{v}$ 's startpunkt sammenfaller med $\mathbf{u}$ 's endepunkt, da er $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ vektoren fra $\mathbf{u}$ 's startpunkt til $\mathbf{v}$ 's endepunkt.

Den negative til $\mathbf{u}$ skrives som $-\mathbf{u}$ og er vektoren som har $\mathbf{u}$ 's endepunkt som startpunkt og $\mathbf{u}$ 's startpunkt som endepunkt.

Produktet $k\mathbf{u}$ er vektoren som har samme retning som $\mathbf{u}$ , men lengde lik $k$ ganger lengden til $\mathbf{u}$ . Dersom $k$ er negativ tolker en $k\mathbf{u}$ som vektoren med samme retning som $-\mathbf{u}$ og lengde lik $| k |$ ganger lengden til $-\mathbf{u}$ .

Normen til $\mathbf{u}$ er lengden til vektoren og vi skriver $\|\mathbf{u}\|$ .

Det Euklidske indreproduktet av $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v}$ defineres geomtrisk ved formelen

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|\cos\theta$ ,

hvor $θ$ er vinkelen mellom de to vektorene.

[rediger] Ved bruk av koordinater

En vektor i planet kan også defineres som et tallpar $(u 1, u 2)$ . Andre skrivemåter er $[u 1, u 2]$ og $\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix}$ . La $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v}$ være vektorene $(u 1, u 2)$ og $(v 1, v 2)$ og la $k$ være en skalar. Addisjonen defineres komponentvis, det vil si $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2)$ . Multiplikasjon med $k$ defineres ved å multiplisere hver koordinat med $k$ . Vi har $k\mathbf{u}=(ku_1,ku_2)$ . Normen til en vektor er gitt ved formelen $\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ . Det Euklidske indreproduktet er gitt ved $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2$ .

[rediger] Vektorer i rommet

Vektorer i rommet har også to ekvivalente definisjoner, henholdsvis geometrisk og ved koordinater:

[rediger] Geometrisk definisjon

En vektor i rommet angis som en pil i rommet fra sitt startpunkt til sitt endepunkt. To piler representerer samme vektor dersom den første kan parallellforskyves slik at den sammenfaller med den andre. Den geometriske definisjonen av addisjon, multiplikasjon med skalar, norm og Euklidsk indreprodukt er den samme som for vektorer i planet.

Vi har også et kryssprodukt for vektorer $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v}$ i rommet. Geometrisk angis $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ som den entydige vektoren som oppfyller egenskapene

$\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ står normalt på både $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v}$ ,
$\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ og $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ er et høyrehåndssystem, og
$\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|\sin\theta$ , hvor $θ$ er vinkelen mellom $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v}$ .

[rediger] Ved bruk av koordinater

En vektor i rommet kan også defineres som et talltrippel $(u 1, u 2, u 3)$ . Andre skrivemåter er $[u 1, u 2, u 3]$ og $\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}$ . La $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v}$ være vektorene $(u 1, u 2, u 3)$ og $(v 1, v 2, v 3)$ og la $k$ være en skalar. Addisjonen defineres komponentvis, det vil si $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)$ . Multiplikasjon med $k$ defineres ved å multiplisere hver koordinat med $k$ . Vi har $k\mathbf{u}=(ku_1,ku_2,ku_3)$ . Normen til en vektor er gitt ved formelen $\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$ . Det Euklidske indreproduktet er gitt ved $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$ . Kryssproduktet er gitt ved formelen $\mathbf{u}\times\mathbf{v}=(u_2v_3-u_3v_2,u_3v_1-u_1v_3,u_1v_2-u_2v_1)$ .

[rediger] Euklidske n-rom

Definisjonen ved bruk av koordinater generaliserer til vilkårlig stor dimensjon $n$ . En vektor i det Euklidske n-rommet er et n-tuppel $(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ . Andre skrivemåter er $[u_1,u_2,\ldots,u_n]$ og $\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\\u_n\end{bmatrix}$ . La $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v}$ være vektorene $(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ og $(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ og la $k$ være en skalar. Addisjonen defineres komponentvis, det vil si $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1,u_2+v_2,\ldots,u_n+v_n)$ . Multiplikasjon med $k$ defineres ved å multiplisere hver koordinat med $k$ . Vi har $k\mathbf{u}=(ku_1,ku_2,\ldots,ku_n)$ . Normen til en vektor er gitt ved formelen $\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2}$ . Det Euklidske indreproduktet er gitt ved $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n$ .

[rediger] Vektorer i fysikk

Vektorer er i utstrakt bruk i fysikken og disse vektorene er i flere typer vektorrom.

Vektorer i rommet. Dette er den eldste bruken av vektorer i fysikken og brukes innen alle grener av fysikken. Her er vektorene fysiske størrelser med retninger i det tredimensjonale, euklidske rommet. Eksempler på vektorer er posisjon, hastighet, kraft, osv. Feltteorier er formulert ved vektorfelter, dvs. vektorer som er funksjoner av romlige vektorer.
Firevektorer i tidrommet. Vektorer i relativitetsteorien er i det firedimensjonale tidrommet, dvs. tid + rom. Disse er dog ikke vektorer i streng matematiske forstand, siden den tilhørende Minkowski-metrikken ikke er positivt definit, dvs. den kan være både positiv og negativ.
Vektorer i faserommet. Faserommet er vektorrommet som består av alle tilstandene til et fysisk system. For et mekaniske system er det koordinatrommet til alle involverte partikler og deres konjugerte impulser. For N partikler har dette rommet så 6N dimensjoner. Faserommet er mye brukt i statistisk fysikk og kvantemekanikk.
Vektorer i Hilbertrommet. Kvantetilstander er vektorer i det komplekse, duale Hilbertrommet.