Spazio completo
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, uno spazio metrico è completo se ogni successione fondamentale {xn} (detta anche successione di Cauchy) converge ad un elemento dello spazio.
Indice |
[modifica] Definizione
Una successione 
è fondamentale o di Cauchy se per ogni ε > 0 esiste un numero N > 0 tale che:
per ogni 
.
In uno spazio metrico X, ogni successione convergente è fondamentale. Se vale anche l'opposto, tale spazio metrico è completo
[modifica] Esempi
- L'esempio più semplice è l'insieme dei numeri reali. Più generalmente, un qualsiasi sottoinsieme chiuso dello spazio euclideo
. - Le funzioni continue definite su un intervallo chiuso [a,b] formano uno spazio metrico C([a,b]) con la metrica
- Lo spazio l2, i cui elementi sono le successioni {xn} che verificano la condizione
[modifica] Proprietà
- Un sottospazio di uno spazio metrico completo, con la metrica indotta, è anch'esso completo se e solo se è chiuso.
- Il prodotto di spazi completi è completo.
- Dalle due proprietà precedenti segue che un sottoinsieme di è completo se e solo se è chiuso.
