Stelling van Rolle
De stelling van Rolle is vernoemd naar Michel Rolle en is in 1691 gepubliceerd. De stelling zegt dat wanneer een functie f aan de volgende voorwaarden voldoet
- f is continu op het gesloten interval [a, b]
- f is differentieerbaar op het open interval ]a,b[
- f(a) = f(b)
dat er dan een waarde c bestaat tussen a en b zodat de afgeleide van f in c nul is.
De stelling van Rolle wordt gebruikt in het bewijs van de middelwaardestelling.
[bewerk] Bewijs
Allereerst stellen we voor de eenvoud C := f(a) = f(b). Wegens de extremumstelling van Weierstrass bereikt f zowel een minimum m als een maximum M over [a, b]. We moeten dan drie verschillende gevallen onderscheiden:
- m
C: als m = f(c) met c 
[a,b], dan is c al zeker verschillend van a en b en bovendien is f'(c) = 0 wegens de eigenschappen van afgeleiden. - M C: analoog.
- m = M = C: f is dus constant op [a,b] en dus is voor elke c [a,b]: f'(c) = 0.
