Limiet van een functie
 Dit artikel kan een redirect worden nadat de tekst is ingevoegd op de pagina Limiet. Zie: Overleg. |
In de wiskunde verstaan we onder de limiet van een functie in een punt a het getal L dat willekeurig dicht benaderd kan worden door functiewaarden f(x), als x in de buurt van het punt a komt, maar wel daarvan verschilt. Het is niet nodig dat de functiewaarde in a bestaat of gelijk is aan de limiet.
[bewerk] Voorbeeld
We nemen de functie 
, en berekenen de limiet ervan in twee punten a=0 en b=-1.
- a=0
Zoals in de definitie vermeld, berekenen we de functiewaarden in punten dichtbij a=0:
| f(-0,1) | f(-0,01) | f(-0,001) | f(0) | f(0,001) | f(0,01) | f(0,1) |
| -0.909 | -0.990 | -0.999 |  -1  |
-1001 | -1.010 | -1111 |
We zien hier proberenderwijs dat de limiet van f(x) in a=0 waarschijnlijk -1 is; we noteren dit als:
.
We merken op dat de functie f gedefinieerd is voor x=0, het lijkt ons dus interessant eens te kijken wat de functiewaarde in dat punt is:
- f(0)=-1
De functiewaarde in het punt 0 is gelijk aan de limiet in dat punt van de functie . Dat is de definitie van continuïteit, we kunnen stellen dat de functie f continu is in het punt x=0.
- x=-1
Op dezelfde manier als hierboven berekenen we functiewaarden dichtbij b= -1:
| f(-1,1) | f(-1,01) | f(-1001) | f(-1) | f(-0.9) | f(-0,99) | f(-0,999) |
| -0.476 | -0.498 | -0.49975 | -0,5 |
-0.5003 | -0.503 | -0.526 |
Hier vermoeden we dat de functie f een limiet heeft in b=-1, en dat deze -0,5 is:
.
Opnieuw kijken we of deze limiet overeenkomt met de functiewaarde in dat punt.
We zien dat de functie niet gedefinieerd is voor x=-1; de noemer wordt namelijk nul. Hier hebben we een situatie dat de limiet bestaat, maar de functiewaarde niet.
Deze merkwaardige situatie kunnen we begrijpen door de originele functie te vereenvoudigen, zodat de "eenvoudigere" functie 
ontstaat, waarvoor de functiewaarde voor x=-1 wél gedefinieerd is (en gelijk is aan bovenstaande limiet!)
[bewerk] Formele definitie
- Limiet in een punt
, als voor elke 
er een 
bestaat, zodanig dat voor alle x met 
geldt dat 
.
In lekentaal gezegd: hoe klein we ook de omgeving van L ook nemen, we kunnen daarbij altijd een omgeving van a vinden, zodat alle punten uit die omgeving behalve a zelf een functiewaarde hebben in de gekozen kleine omgeving van L.
Merk op dat het punt a zelf expliciet buiten de definitie is gelaten. De functie kan in het punt a zelf een waarde hebben verschillend van de limiet, of daar zelfs niet gedefinieerd zijn, zie voorbeelden hierboven.
- Limiet op oneindig
De definitie voor een limiet op oneindig is analoog: 
, als voor elke (kleine) getal ε, er een N bestaat, zodat voor alle x>N geldt dat de functiewaarden in de omgeving van de limiet liggen, in het gebied ]L-ε,L+ε[.
[bewerk] Voorbeelden
bestaat niet, want de linker- en rechterlimiet zijn niet aan elkaar gelijk:
-
