Nombor
From Wikipedia
- Untuk erti kata lain bagi perkataan ini, sila lihat Nombor (nyahkekaburan).
| Sistem nombor matematik | |
| Asas | |
|
Nombor tabii |
|
| Perluasan kompleks | |
|
Nombor dwikompleks |
|
| Lain-lain | |
|
Nombor nominal |
Nombor ialah satu entiti abstrak yang mewakili hitungan atau ukuran. Simbol untuk nombor dipanggil angka. Dalam penggunaan biasa, angka sering digunakan sebagai label (penomboran rumah), penunjuk susunan (nombor bersiri), dan kod (ISBN). Dalam bidang matematik, takrif nombor telah diperluas untuk merangkumi keabstrakan seperti pecahan, nisbah, serta nombor-nombor negatif, transenden, dan kompleks.
Operasi-operasi aritmetik untuk nombor, seperti kira-kira campur, kira-kira tolak, pendaraban dan pembahagian, dibuat lebih umum dalam cabang matematik yang dikenali sebagai algebra niskala. Algebra niskala ialah kajian tentang sistem-sistem nombor abstrak, seperti kumpulan, gelanggang dan medan.
Jadual isi kandungan |
[Sunting] Jenis nombor
Nombor boleh dikelaskan kepada set yang dipanggil sistem nombor. Untuk kaedah-kaedah menyatakan nombor dengan simbol, sila lihat sistem angka.
[Sunting] Nombor tabii
Nombor-nombor yang paling biasa digunakan ialah nombor tabii. Bagi sesetengah orang, nombor tabii bermaksud integer bukan negatif, manakala untuk orang yang lain, istilah itu bermakna integer positif. Integer-integer bukan negatif dirujuk sebagai nombor bulat, manakala integer positif dirujuk sebagai nombor pembilang.
Dalam sistem penomboran asas sepuluh yang digunakan di hampir seluruh dunia, simbol-simbol untuk nombor tabii ditulis dengan menggunakan sepuluh digit, iaitu 0 hingga 9. Suatu sistem nilai tempat tersirat yang bertambah dengan kuasa sepuluh digunakan untuk nombor yang lebih besar daripada sembilan. Oleh itu, nombor yang lebih besar daripada sembilan mempunyai angka yang dibentuk daripada dua or lebih digit. Simbol untuk set yang merangkumi semua nombor tabii ialah 
[Sunting] Integer
Nombor negatif ialah nombor yang nilainya adalah kurang daripada sifar. Nombor ini biasa ditulis dengan menggunakan tanda negatif di hadapan nombor positif yang sepadan untuk menandakan lawannya. Umpamanya, jika satu nombor positif digunakan untuk menandakan jarak di sebelah kanan titik tetap, nombor negatif akan digunakan untuk menandakan jarak di sebelah kiri. Serupa juga, jika satu nombor positif menandakan simpanan bank, jadi nombor negatif merujuk kepada pengeluaran wang daripada akaun bank itu. Apabila nombor bulat negatif dicantumkan dengan nombor bulat positif atau nombor sifar, seseorang akan mendapat integer 
(bahasa Jerman: Zahl, bentuk jamak Zahlen).
[Sunting] Nombor rasional
Nombor rasional ialah nombor yang boleh diungkapkan sebagai pecahan yang terdiri daripada pengangka integer serta penyebut nombor tabii yang bukan sifar. Pecahan m/n mewakili kuantiti yang diperoleh apabila sesuatu benda dibahagikan kepada n bahagian yang sama. Dua pecahan yang berbeza boleh mempunyai nilai yang sama dengan satu nombor rasional; umpamanya ½ dan 2/4 adalah sama. Jika nilai mutlak untuk m adalah lebih besar daripada n, nilai mutlak untuk pecahan itu adalah lebih besar daripada nilai satu. Pecahan boleh mempunyai nilai positif, negatif, atau sifar. Set untuk semua pecahan merangkumi semua integer kerana setiap integer boleh ditulis sebagai satu pecahan dengan penyebut 1. Simbol untuk nombor rasional ialah huruf tebal 
(untuk quotient dalam bahasa Inggeris, iaitu hasil bahagi).
[Sunting] Nombor nyata
Dengan kurang tepat, nombor-nombor nyata boleh dianggap sebagai sama sahaja dengan titik-titik pada garis selanjar. Semua nombor rasional adalah nombor nyata dan seperti dengan nombor rasional, nombor nyata boleh dikelaskan, baik sebagai positif, sifar, mahupun negatif. Nombor nyata boleh dicirikan dengan unik melalui sifat matematiknya: nombor ini adalah medan tertib lengkap yang tunggal. Bagaimanapun, nombor nyata bukannya suatu medan tertutup algebra.
Angka-angka perpuluhan adalah lagi satu cara untuk mengungkapkan nombor. Dalam sistem nombor asas sepuluh, nombor ini ditulis sebagai rentetan angka, dengan satu titik (titik perpuluhan) (umpamanya di Amerika Syarikat dan United Kingdom) atau dengan satu koma (umpamanya di benua Eropah) di sebelah kanan tempat nilai-nilai satu; nombor nyata negatif ditulis dengan tanda minus di hadapan. Sesuatu angka perpuluhan yang mentakrifkan nombor rasional boleh berulang-ulang atau tamat (walaupun seberapa banyak nombor sifar boleh ditambah), walaupun sifar ialah nombor nyata yang tunggal yang tidak boleh ditakrifkan melalui angka perpuluhan yang berulang-ulang. Umpamanya, pecahan 5/4 boleh ditulis sebagai angka perpuluhan 1.25 yang tamat, atau sebagai angka perpuluhan 1.24999... (angka-angka sembilan yang berterusan) yang berulang-ulang. Pecahan 1/3 hanya boleh ditulis dengan 0.3333... (angka-angka tiga yang berterusan) yang berulang-ulang. Semua angka perpuluhan yang berulang-ulang atau tamat mentakrifkan nombor nyata yang juga boleh ditulis sebagai pecahan; 1.25 = 5/4 dan 0.3333... = 1/3. Sebaliknya, angka-angka yang tidak berulang-ulang atau tidak tamat mewakili nisbah, iaitu nombor-nombor yang tidak boleh ditulis sebagai pecahan. Umpamanya pemalar-pemalar matematik yang terkenal seperti π (pi) dan 
, punca kuasa dua untuk 2, adalah nisbah; serupa juga dengan nombor nyata yang diungkapkan oleh angka perpuluhan 0.101001000100001... kerana ungkapan ini tidak berulang atau tamat.
Nombor-nombor nyata terdiri daripada semua nombor yang boleh diungkapkan melalui angka perpuluhan, baik angka rasional mahupun nisbah. Simbol untuk nombor nyata ialah 
Nombor-nombor nyata telah dipergunakan untuk mewakili ukuran, dan adalah sama dengan titik-titik pada garis nombor. Oleh sebab ukuran-ukuran hanya dibuat pada tahap ketepatan yang tertentu, jidar selisih selalu wujud apabila nombor nyata digunakan untuk mewakilinya. Ini sering diolahkan dengan menentukan bilangan angka bererti yang sesuai.
[Sunting] Nombor kompleks
Beralih ke tahap pengabstrakan yang lebih tinggi, nombor-nombor nyata boleh diperluas supaya merangkumi nombor-nombor kompleks 
Dari segi sejarah, set nombor muncul daripada soalan bolehkah nombor negatif mempunyai punca kuasa dua. Daripada masalah ini, satu nombor baru telah ditemui: punca kuasa satu negatif. Nombor ini ditandakan dengan simbol i yang diberikan oleh Leonhard Euler.
Nombor-nombor kompleks terdiri daripada semua nombor dengan bentuk a + b i, dengan a dan b merupakan nombor-nombor nyata. Jika a ialah sifar, jadi a + b i dipanggil nombor khayalan. Serupa juga, jika b ialah sifar, jadi a + b i ialah nombor nyata kerana tidak adanya komponen khayalan. Sesuatu nombor kompleks yang mempunyai a dan b sebagai integer dipanggil integer Gaussan. Nombor-nombor kompleks merupakan medan tertutup algebra, iaitu setiap polinomial dengan koefisien kompleks boleh difaktorkan menjadi faktor-faktor linear yang mempunyai koefisien-koefisien kompleks. Nombor-nombor kompleks adalah sepadan dengan titik-titik pada satah kompleks.
Setiap sistem nombor yang disebut di atas adalah subset bagi sistem nombor yang berikut. Secara simbol, ini diwakili sebagai: 
[Sunting] Jenis lain
Superreal, hyperreal and surreal numbers extend the real numbers by adding infinitesimally small numbers and infinitely large numbers, but still form fields.
The idea behind p-adic numbers is this: While real numbers may have infinitely long expansions to the right of the decimal point, these numbers allow for infinitely long expansions to the left. The number system which results depends on what base is used for the digits: any base is possible, but a system with the best mathematical properties is obtained when the base is a prime number.
For dealing with infinite collections, the natural numbers have been generalized to the ordinal numbers and to the cardinal numbers. The former gives the ordering of the collection, while the latter gives its size. For the finite set, the ordinal and cardinal numbers are equivalent, but they differ in the infinite case.
There are also other sets of numbers with specialized uses. Some are subsets of the complex numbers. For example, algebraic numbers are the roots of polynomials with rational coefficients. Complex numbers that are not algebraic are called transcendental numbers.
Sets of numbers that are not subsets of the complex numbers include the quaternions 
, invented by Sir William Rowan Hamilton, in which multiplication is not commutative, and the octonions, in which multiplication is not associative. Elements of function fields of finite characteristic behave in some ways like numbers and are often regarded as numbers by number theorists.
[Sunting] Angka
Nombor-nombor harus dibezakan daripada angka yang merupakan simbol untuk mewakili nombor. Nombor 'lima' boleh diwakili dengan kedua-dua angka asas sepuluh, iaitu 5, atau angka Roman, V. Notasi-notasi yang digunakan untuk mewakili nombor dibincangkan dalam rencana sistem angka yang berasingkan. Satu perkembangan yang penting dalam sejarah angka ialah perkembangan satu sistem tempat dan serupa dengan sistem perpuluhan moden, dapat mewakili nombor-nombor yang amat besar. Sebaliknya, angka-angka Roman memerlukan simbol-simbol tambahan untuk mewakili nombor-nombor yang lebih besar.
[Sunting] Sejarah
[Sunting] Sejarah integer
[Sunting] Nombor pertama
- Maklumat lanjut: Sejarah sistem angka
Penggunaan nombor buat pertama kali yang diketahui bertarikh sejak sekitar 30000 SM, ketika gundal digunakan oleh orang-orang Paleolitik. Contoh terawal yang dikenali ialah dari sebuah gua di bahagian selatan Afrika. [1]. Sistem ini tidak mempunyai konsep nilai tempat (seperti dalam notasi perpuluhan yang digunakan sekarang) dan oleh itu, mengehadkan perwakilan nombor yang besar. Sistem pertama yang diketahui mempunyai nilai tempat ialah sistem asas 60 Mesopotamia (k.k. 3400 SM), dan sistem asas 10 terawal yang dikenali wujud sejak 3100 SM di Mesir. [2]
[Sunting] Sejarah sifar
- Maklumat lanjut: Sejarah sifar
Penggunaan sifar sebagai satu nombor harus dibezakan daripada penggunaannya sebagai satu angka pemegang tempat dalam sistem-sistem nilai tempat. Banyak teks India kuno menggunakan perkataan Sanskrit shunya untuk merujuk kepada konsep lowong; dalam teks matematik, perkataan ini sering digunakan untuk merujuk kepada nombor sifar. [3]. Dengan cara yang sama, Pāṇini (abad ke-5 SM) menggunakan pengoperasi nol (sifar, iaitu penerbitan lambda) dalam tatabahasa algebranya, Ashtadhyayi, untuk bahasa Sanskrit (lihat juga Pingala)
Rekod-rekod menunjukkan bahawa orang-orang Yunani kelihatan tidak pasti tentang status sifar sebagai satu nombor: mereka tertanya-tanya tentang "bagaimana 'tidak ada apa-apa' boleh merupakan sesuatu?", dan menimbulkan perdebatan falsafah dan menjelang Zaman Pertengahan, juga perdebatan agama yang menarik tentang sifat dan kewujudan sifar serta hampagas. Paradoks Zeno dari Elea bergantung sebahagian besar kepada tafsiran sifar yang tidak pasti. (Orang-orang Yunani juga mempersoalkan tentang adakah 1 merupakan salah satu nombor.)
Orang-orang Olmec dari Mexico tengah selatan yang lebih lewat memulakan penggunaan sifar benar di dalam Dunia Baru, mungkin sejak abad ke-4 SM tetapi pasti pada 40 SM. Sifar benar itu dijadikan oleh mereka sebagai satu angka yang perlu untuk angka-angka Maya dan takwim Maya, tetapi penggunaan mereka ini tidak mempengaruhi sistem-sistem angka Dunia Lama.
Menjelang tahun 130 Masihi, Ptolemy yang dipengaruhi oleh Hipparchus dan orang-orang Babylon, menggunakan satu simbol untuk sifar (satu bulatan kecil dengan satu palang yang panjang di atasnya) yang sebelum itu, menggunakan abjad dalam sistem angka perenampuluhan. Disebabkan nombor sifar ini digunakan secara berasingan, dan bukan sahaja sebagai pemegang tempat, sifar keyunanian ini merupakan penggunaan sifar benar yang 'didokumenkan' buat pertama kali di dalam Dunia Lama. Untuk manuskrip-manuskrip Rom Timur yang kemudian bagi karynanya, Syntaxis Mathematica (Almagest), bentuk sifar keyunanian Ptolemy telah diubah menjadi huruf Greek, omikron (sebelum itu bermaksud 70).
Menjelang tahun 525 Masihi, lagi satu sifar benar telah digunakan di dalam jadual-jadual, bersama-sama dengan angka Rom (penggunaan pertama yang diketahui adalah oleh Dionysius Exiguus), tetapi sebagai perkataan, iaitu nulla yang bermaksud tidak ada satu pun, dan bukannya sebagai satu simbol. Apabila pembahagian menghasilkan sifar sebagai bakinya, nihil yang juga bermaksud tiada ada satu pun, digunakan. Sifar-sifar Zaman Pertengahan ini digunakan oleh semua komputus (penghitung Easter) Zaman Pertengahan yang kemudian. Pada sekitar 725 Masihi, parap N telah digunakan di dalam jadual angka Rom oleh Bede, atau teman sekerjanya, dan merupakan satu penggunaan terasing, serta satu simbol sifar yang benar.
Satu penggunaan sifar yang awal oleh Brahmagupta yang telah didokumenkan di dalam Brahmasphutasiddhanta bertarikh sejak tahun 628 Masihi. Beliau mengolahkan sifar sebagai satu nombor, dan membincangkan operasi-operasi yang melibatkannya, termasuk pembahagian. Pada masa ini, iaitu abad ke-7, konsep ini jelas telah tiba di Kemboja, dan dokumen-dokumen menunjukkan bahawa idea ini kemudian tersebar ke China dan dunia Islam.
[Sunting] Sejarah nombor negatif
- Maklumat lanjut: Penggunaan pertama nombor-nombor negatif
Konsep abstrak bagi nombor-nombor negatif telah diakui seawal 100 - 50 SM. Karya Cina, "Sembilan Bab mengenai Seni Matematik" (Jiu-zhang Suanshu) mengandungi kaedah-kaedah untuk menentukan keluasan gambar rajah; palang merah digunakan untuk menandakan pekali positif, dan palang hitam untuk pekali negatif. Ini merupakan sebutan nombor negatif yang pertama diketahui di dunia Timur; rujukan pertama dalam karya Barat adalah pada abad ke-3 di Greece. Diophantus merujuk kepada persamaan 4x + 20 = 0 (penyelesaiannya adalah negatif) di dalam karyanya, Arithmetica, dan mengatakan bahawa persamaan itu memberikan hasil bukan-bukan.
Semasa dekad 600-an, nombor-nombor negatif telah digunakan di India untuk mewakili hutang. Rujukan-rujukan Diophantus dahulu telah dibincangkan dengan lebih ketara oleh Brahmagupta, ahli matematik India, di dalam karyanya Brahma-Sphuta-Siddhanta pada tahun 628 Masihi. Beliau menggunakan nombor-nombor negatif untuk menghasilkan rumus kuadratik, satu bentuk am yang masih digunakan pada hari ini. Bagaimanapun pada abad ke-12 di India, Bhaskara memberikan punca kuasa negatif untuk persamaan-persamaan kuadratik, tetapi berkata bahawa nilai negatif "dalam kes ini tidak diambil kerana tidak sempurna; orang-orang tidak akan bersetuju dengan punca-punca kuasa negatif."
Ahli-ahli matematik Eropah biasanya menahan konsep nombor-nombor negatif sehingga abad ke-17, walaupun Fibonacci membenarkan penyelesaian negatif yang ditafsirkannya sebagai debit (bab 13 daripada Liber Abaci, 1202) dan kemudiannya sebagai kerugian (dalam Flos). Pada waktu yang sama, orang-orang Cina menandakan nombor-nombor negatif melalui satu coret serong pada digit bukan sifar yang paling kanan untuk angka nombor positif yang sepadan. Penggunaan pertama nombor negatif dalam karya Eropah adalah oleh Chuquet pada abad ke-15. Beliau menggunakannya sebagai eksponen, tetapi merujuk kepadanya sebagai "nombor bukan-bukan"
Baru-baru pada abad ke-18, ahli mathematik Switzerland, Leonhard Euler, mempercayai bahawa nombor negatif adalah lebih besar berbanding dengan ketakterhinggaan. Adalah amalan biasa pada masa itu untuk tidak mengendahkan sebarang hasil negatif yang dikembalikan oleh persamaan, berdasarkan andaian bahawa angka-angka itu tidak bermakna.
[Sunting] Sejarah nombor rasional, nisbah, dan nombor nyata
- Maklumat lanjut: Sejarah nisbah dan Sejarah pi
[Sunting] Sejarah nombor rasional
Konsep nombor-nombor pecahan mungkin wujud sejak zaman prasejarah. Orang-orang Mesir Kuno juga menulis teks matematik yang memerihalkan bagaimana mengubahkan pecahan menjadi notasi khas. Ahli matematik Greek klasik dan India mengkaji teori nombor rasional sebagai sebahagian kajian am untuk teori nombor. Kajian yang paling terkenal ialah Unsur-unsur Euclid yang wujud sejak kira-kira 300 SM. Antara teks-teks India, kajian yang paling berkait ialah Sutra Sthananga yang juga merangkumi teori nombor sebagai sebahagian kajian am matematik.
Konsep pecahan perpuluhan amat berkait dengan notasi nilai tempat perpuluhan; kedua-dua ini nampaknya berkembang bersama-sama. Umpamanya, sutra-sutra matematik Jain biasanya termasuk penghitungan penghampiran pecahan perpuluhan untuk pi atau punca kuasa dua untuk dua. Serupa juga, teks-teks matematik Babylon selalu menggunakan pecahan-pecahan perenam-puluhan dengan amat kerap.
[Sunting] Sejarah nisbah
The earliest known use of irrational numbers was in the Indian Sulba Sutras composed between 800-500 BC. The first existence proofs of irrational numbers is usually attributed to Pythagoras, more specifically to the Pythagorean Hippasus of Metapontum, who produced a (most likely geometrical) proof of the irrationality of the square root of 2. The story goes that Hippasus discovered irrational numbers when trying to represent the square root of 2 as a fraction. However Pythagoras believed in the absoluteness of numbers, and could not accept the existence of irrational numbers. He could not disprove their existence through logic, but his beliefs would not accept the existence of irrational numbers and so he sentenced Hippasus to death by drowning.
The sixteenth century saw the final acceptance by Europeans of negative, integral and fractional numbers. The seventeenth century saw decimal fractions with the modern notation quite generally used by mathematicians. But it was not until the nineteenth century that the irrationals were separated into algebraic and transcendental parts, and a scientific study of theory of irrationals was taken once more. It had remained almost dormant since Euclid. The year 1872 saw the publication of the theories of Karl Weierstrass (by his pupil Kossak), Heine (Crelle, 74), Georg Cantor (Annalen, 5), and Richard Dedekind. Méray had taken in 1869 the same point of departure as Heine, but the theory is generally referred to the year 1872. Weierstrass's method has been completely set forth by Pincherle (1880), and Dedekind's has received additional prominence through the author's later work (1888) and the recent endorsement by Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor, and Heine base their theories on infinite series, while Dedekind founds his on the idea of a cut (Schnitt) in the system of real numbers, separating all rational numbers into two groups having certain characteristic properties. The subject has received later contributions at the hands of Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101), and Méray.
Continued fractions, closely related to irrational numbers (and due to Cataldi, 1613), received attention at the hands of Euler, and at the opening of the nineteenth century were brought into prominence through the writings of Joseph Louis Lagrange. Other noteworthy contributions have been made by Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), and Günther (1872). Ramus (1855) first connected the subject with determinants, resulting, with the subsequent contributions of Heine, Möbius, and Günther, in the theory of Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet also added to the general theory, as have numerous contributors to the applications of the subject.
[Sunting] Nombor transenden dan nombor nyata
The first results concerning transcendental numbers were Lambert's 1761 proof that π cannot be rational, and also that en is irrational if n is rational (unless n = 0). (The constant e was first referred to in Napier's 1618 work on logarithms.) Legendre extended this proof to showed that π is not the square root of a rational number. The search for roots of quintic and higher degree equations was an important development, the Abel–Ruffini theorem (Ruffini 1799, Abel 1824) showed that they could not be solved by radicals (formula involving only arithmetical operations and roots). Hence it was necessary to consider the wider set of algebraic numbers (all solutions to polynomial equations). Galois (1832) linked polynomial equations to group theory giving rise to the field of Galois theory.
Even the set of algebraic numbers was not sufficient and the full set of real number includes transcendental numbers. The existence of which was first established by Liouville (1844, 1851). Hermite proved in 1873 that e is transcendental and Lindemann proved in 1882 that π is transcendental. Finally Cantor shows that the set of all real numbers is uncountably infinite but the set of all algebraic numbers is countably infinite, so there is an uncountably infinite number of transcendental numbers.
[Sunting] Ketakterhinggaan
- Maklumat lanjut: Sejarah ketakterhinggaan
Tanggapan terawal yang diketahui mengenai ketakterhinggaan matematik muncul di dalam Veda Yajur yang pada sebahagiannya menyatakan: "jika anda mengeluarkan sebahagian daripada ketakterhinggaan atau menambah sebahagian kepadanya, hasilnya masih merupakan ketakterhinggaan". Ketakterhinggaan merupakan satu topik kajian falsafah yang popular antara ahli-ahli matematik Jain pada kira-kira 400 SM. Mereka membezakan antara lima jenis ketakterhinggaan: tak terhingga pada satu atau dua arah, keluasan yang tak terhingga, ketakterhinggaan pada mana-mana satu arah, dan ketakterhinggan sepanjang masa.
Di dunia Barat, tanggapan tradisional mengenai ketakterhinggaan matematik ditakrifkan oleh Aristotle yang membezakan ketakterhinggaan sebenar dan ketakterhinggaan berpotensi; sepersetujuan yang dicapai adalah bahawa hanya ketakterhinggaan berpotensi mempunyai nilai benar. Karya Galileo, Dua Sains Baru, membincangkan idea kesepadanan satu ke satu antara set-set tak terhingga. Bagaimanapun, kemajuan utama yang berikutnya dibuat oleh Georg Cantor pada tahun 1895 apabila beliau menerbitkan sebuah buku mengenai teori set yang baru, dan memperkenalkan hipotesis kontinum, antara lain.
Versi geometri moden untuk ketakterhinggaan diberikan oleh geometri unjuran yang memperkenalkan "titik-titik unggul pada ketakterhinggaan," dengan satu titik bagi setiap arah ruang. Setiap keluarga garis-garis selari pada satu arah yang tertentu dipostulatkan akan bertemu di titik unggul yang sepadan. Ini amat berkait dengan idea titik-titik lenyap di dalam lukisan perspektif.
[Sunting] Nombor kompleks
- Maklumat lanjut: History of complex numbers
The earliest fleeting reference to square roots of negative numbers occurred in the work of the Greek mathematician and inventor Heron of Alexandria in the 1st century AD, when he considered the volume of an impossible frustum of a pyramid. They became more prominent when in the 16th century closed formulas for the roots of third and fourth degree polynomials were discovered by Italian mathematicians (see Niccolo Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano). It was soon realized that these formulas, even if one was only interested in real solutions, sometimes required the manipulation of square roots of negative numbers.
This was doubly unsettling since they did not even consider negative numbers to be on firm ground at the time. The term "imaginary" for these quantities was coined by René Descartes in 1637 and was meant to be derogatory (see imaginary number for a discussion of the "reality" of complex numbers). A further source of confusion was that the equation 
seemed to be capriciously inconsistent with the algebraic identity 
, which is valid for positive real numbers a and b, and which was also used in complex number calculations with one of a, b positive and the other negative. The incorrect use of this identity (and the related identity 
) in the case when both a and b are negative even bedeviled Euler. This difficulty eventually led him to the convention of using the special symbol i in place of 
to guard against this mistake.
The 18th century saw the labors of Abraham de Moivre and Leonhard Euler. To De Moivre is due (1730) the well-known formula which bears his name, de Moivre's formula:
and to Euler (1748) Euler's formula of complex analysis:
The existence of complex numbers was not completely accepted until the geometrical interpretation had been described by Caspar Wessel in 1799; it was rediscovered several years later and popularized by Carl Friedrich Gauss, and as a result the theory of complex numbers received a notable expansion. The idea of the graphic representation of complex numbers had appeared, however, as early as 1685, in Wallis's De Algebra tractatus.
Also in 1799, Gauss provided the first generally accepted proof of the fundamental theorem of algebra, showing that every polynomial over the complex numbers has a full set of solutions in that realm. The general acceptance of the theory of complex numbers is not a little due to the labors of Augustin Louis Cauchy and Niels Henrik Abel, and especially the latter, who was the first to boldly use complex numbers with a success that is well known.
Gauss studied complex numbers of the form a + bi, where a and b are integral, or rational (and i is one of the two roots of x2 + 1 = 0). His student, Ferdinand Eisenstein, studied the type a + bω, where ω is a complex root of x3 − 1 = 0. Other such classes (called cyclotomic fields) of complex numbers are derived from the roots of unity xk − 1 = 0 for higher values of k. This generalization is largely due to Kummer, who also invented ideal numbers, which were expressed as geometrical entities by Felix Klein in 1893. The general theory of fields was created by Évariste Galois, who studied the fields generated by the roots of any polynomial equation
In 1850 Victor Alexandre Puiseux took the key step of distinguishing between poles and branch points, and introduced the concept of essential singular points; this would eventually lead to the concept of the extended complex plane.
[Sunting] Nombor perdana
Nombor-nombor perdana telah dikaji pada sepanjang sejarah tercatat. Euclid mengekhaskan sebuah buku dalam Unsur-unsurnya untuk teori nombor perdana; dalam buku itu, beliau membuktikan ketakterhinggaan nombor-nombor perdana serta teorem asas aritmetik, dan menyampaikan algoritma Euclid untuk memperoleh pembahagi sepunya terbesar untuk dua nombor.
Pada tahun 240 SM, Eratosthenes menggunakan Saringan Eratosthenes untuk mengasingkan nombor-nombor perdana dengan cepat. Bagaimanapun, kebanyakan perkembangan lanjutan bagi teori nombor perdana di Eropah wujud sejak Zaman Pembaharuan Renaissance dan zaman-zaman kemudian.
Pada tahun 1796, Adrien-Marie Legendre menerka teorem nombor perdana, dan memerihalkan taburan asimptot untuk nombor-nombor perdana. Hasil-hasil lain mengenai taburan nombor perdana termasuk bukti Euler yang menyatakan bahawa hasil tambah untuk salingan-salingan mencapah, serta konjektur Goldbach yang mendakwa bahawa mana-mana satu nombor genap yang cukup besar adalah hasil tambah dua nombor perdana. Lagi satu konjektur yang berkaitan dengan taburan nombor-nombor perdana ialah hipotesis Riemann yang dirumuskan oleh Bernhard Riemann pada tahun 1859. Teorem nombor perdana akhirnya dibuktikan oleh Jacques Hadamard dan Charles de la Vallee-Poussin pada tahun 1896.
[Sunting] Rujukan
- Erich Friedman, Apakah yang istimewa tentang nombor ini?
- Steven Galovich, Introduction to Mathematical Structures, Harcourt Brace Javanovich, 23 Januari 1989, ISBN 0-15-543468-3.
- Paul Halmos, Naive Set Theory, Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6.
- Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Percetakan Universiti Oxford, 1972.
- Whitehead and Russell, Principia Mathematia ke *56, Percetakan Universiti Cambridge, 1910.
- Apakah itu Nombor? di laman web cut-the-knot
[Sunting] Lihat juga
|
|
