Custrüzziú di nümar cumpless

From Wikipedia

Artícuj relazziunaa a matemàtica

Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada.

Ul fí da cheest artícul al è da presentá, d'una part la custrüzziú , fàcila, dij nümar cumpless, e d’otra banda, la demustrazziú ,un pocch plüü cumplicada, che sa trata bé d'un còorp algebraicameent saraa.

[redatá] Definizziú in tant che còorp valüdaa

In tant che sémplis còorp, i cumpless i è fàcil a definí, par estensiú algebràica par gjunziú da ariis :

$\mathbb{C}=\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$

La classa da $X$ al è nutada $i$ (da le völte, par esempi in eletricitaa, i físich i preferiss druvá $j$ , e i reserva la lètera $i$ a una intensitaa). La verifica cuma sa l desidrava la relazziú : $i 2 = - 1$ .

Chest-chí al definiss una estensiú di nümar reaj, da dimensiú $2$ (sa pöö dunca bé scriif da manera ünica tütt nümar cumpless sota la furma $a + b i$ indúe $a$ e $b$ i è di reaj). Sa la müniss da la norma d'estensiú algebràica la plüü natürala in cheest quàdar: $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ . La a prulunga bé chela di reaj, e in tant che spazzi veturiaal da dimensiú finida, sü $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ al è bé un spazzi cumplet.

[redatá] Pröve da la saradezza

[redatá] Via ul stüdi lucaal d'un pulinomi

Sa resuna par l'assüürt : al síes $P$ un pulinomi mia cunstant igaant nissüna ariis íntal còorp di cumpless. Sa l nota $f (z)$ ul mòdül da $P (z)$ , e $A:= \inf_{\mathbb{C}}{f}$ . Mustremm che cheest infimum al è tucaa, e che sa pöö mia iga $A \neq 0$ : s’arà inscí pruvaa che $P$ sa l anüla, d'indúe una cuntradizziú .

$P (z)$ al teend veers l'infinii in mòdül, cura che $z$ al teend veers l'infinii. Al esiist dunca una cunstanta $M > A + 1$ e un reaal $r$ taj che $f > M$ da fö da la bula da céntar $0$ e da radi $r$ . Al è assée dunca da cunsiderá l'ínfimum da $f$ sü chesta bula. Adess, la bula a l’è cumpata, e $f$ al è cuntínüa, dunca l'ínfimum al è tucaa in $z 0$ .

Resunemm un pocch schematichameent : si sa resta fisc aprööf da $z 0$ , sa a « dabot » $P (z 0 + h) = P (z 0) + P'(z 0) h$ , cun, par ipòtesi d’assüürt, $| P (z 0) | = A > 0$ . Sa scriif $h = ρexp i θ$ e s’al scerniss $θ$ da tala manera che $P'(z 0)exp i θ$ e $P (z 0)$ i gh’àbies istess argümeent. Sa a alura

$P(z_0 + h) = P(z_0) (1 + \frac{P'(z_0)}{P(z_0)} \exp{i \theta} \rho) = P(z_0) (1 + K \rho)$

Indúe $K$ al è reaal, par scèrnida da $θ$ . A cuust da cambiá $θ$ in $θ + π$ , sa pöö süpusá che K al è negatiif. Alura, par $ρ$ assée petit par che l'aprussimazziú fada la síes vàlida, sa a $| P (z 0 + h) | < A$ . Cuntradizziú .

[redatá] Via le funziú ulumorfe

Sa resuna par l'assüürt : al síes $P$ un pulinomi mia cunstant igaant nissüna ariis íntal còorp di cumpless. Alura sa pöö definí ul sò inveers $Q:= \frac{1}{P}$ sü $\mathbb{C}$ tütt intreegh. $Q$ al è desvilüpàbil in séria intrega al intuurn da tütt puunt, dunca ulumorfa. Da plüü, in mòdül, $P (z)$ al tend veers l'infinii cura che $z$ tend veers l'infinii, dunca $Q (z)$ al tend veers zeru al infinii. $Q$ a l’è da plüü cuntínüa, dunca limitada sü $\mathbb{C}$ intreegh. In taant che ulumorfa, a l’è custanta, pal teurema da Liouville. Cuntradizziú