황금비

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황금비 또는 황금분할(라틴어 sectio aurea, 혹은 sectio divina)은 주어진 길이를 가장 이상적으로 둘로 나누는 비로, 근사값이 약 1.618인 무리수이다. 기하학적으로 황금분할은 이미 유클리드에 (원론 3, 141) 의해서 정의 된 이래 예술분야, 특히 건축, 미술 등에서 즐겨 응용되었다.

[편집] 황금분할의 정의

(a+b):a = a:b

황금비 φ(phi)는 선분을 a, b 길이로 둘로 나눌 때, (a+b)/a = a/b = φ 인 값으로 정의된다. 이 때

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a}{b} + 1.\qquad\qquad(*)$

가 성립하고, $\frac{a}{b} = \varphi.$ 를 대입하면

$\varphi^2=\varphi+1\,$

이차방정식이 나오고, φ는 이 방정식의 두 근 중 양수 근이 된다.

$\varphi = 1 : {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \approx 1.618 033 988 749 894 848 204 586 834 366 \$

[편집] 수학적 성질

황금비는 기하학에서 자주 등장하는 상수이다. 특히 오각형에 연관성이 크다. 예를 들어, 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비는 황금비이다.

피보나치 수는 황금비를 포함한다.

$F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}} = {{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}$

또한, 피보나치 수열의 두 수의 비의 극한값은 황금비이다.

[편집] 생활 속에서 볼 수 있는 황금비

고대 그리스로부터 건축물을 아름답게 짓기 위해 황금비가 많이 사용되고 있으며, 명함, 신용카드 등에서도 볼 수 있다. HDTV 나 컴퓨터의 와이드 모니터 등에는 16:9, 15:9(5:3), 16:10(8:5) 등의 비율이 사용되고 있는데 이것은 황금비의 근사값이라 할 수 있다.