C*-環

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C*-環（シースターかん、C*-algebra）とは複素共役に類似の作用を込めて考えた複素数体上の完備なノルム環であり、フォン・ノイマン環と並ぶ作用素環論の主要な研究テーマである。C*-代数（シースターだいすう）とも呼ばれる。

C*-環はその内在的な構造のみにもとづいて公理的に定義されるが、実はどんな C*-環もヒルベルト空間上の線形作用素のなす環で、随伴操作とノルムに関する一様収束位相で閉じたものとして実現される。

また、可換 C*-環を考えることは局所コンパクト空間上の複素数値連続関数環を考えることになり、その連続関数環からはもとの位相空間を復元できるので、可換 C*-環の理論は局所コンパクト空間の理論と等価だといえる。一般の C*-環は、群（あるいは亜群）など、幾何学的な文脈に現れながら普通の空間とは見なされないようなものを包摂しうる変形（「量子化」）された空間を表していると考えることもできる。

[編集] 定義

集合 A は以下のような構造を持つときC*-環と呼ばれる。

A は複素数体C 上の多元環（代数） (algebra over the complex field C) である。
対合 (involution) と呼ばれるAからそれ自身への全単射写像 *: a → a^* があって、
- (λa + μb)^* = λa^* + μb^*,
- (ab)^* = b^*a^*,
- (a^*)^* = a
が任意の a, b ∈ A, λ, μ ∈ C について成り立つ。
A にはノルム ||·|| が存在し、任意の a, b ∈ A について
- ||ab|| ≤ ||a|| ||b||
が成り立つ。さらに A はこのノルムに関して完備である。
任意の a ∈ A についてノルムの C*-性 (C*-property of the norm):
- ||a^*a|| = ||a||²
が成り立つ。

一般的には上の条件 1, 2 を満たすものを *-環 (*-algebra) あるいは対合（付き）環、条件 1, 3 を満たすものをバナッハ環 (Banach algebra)、条件 1, 2, 3 を満たすものをバナッハ *-環 (Banach *-algebra) という。すなわち C*-環とはバナッハ *-環でノルムの C*-性を満たすものである。

C*-環 A と B について、A から B への環の準同型写像 f で対合作用 "*" を保つものは C*-環の準同型、または *-準同型とよばれる。実は f に対する代数的な仮定から f がノルム1以下の（特に、連続な）線形写像であることが従う。

[編集] 例

C(Ω): コンパクトハウスドルフ空間 Ω 上の複素数値連続関数のなす関数空間 C(Ω) （例えば実閉区間 [0,1] 上の連続関数たち）を考える。このとき、積を各点での積： f · g(s) = f(s)g(s), 対合を複素共役: f^*(s) = f(s), ノルムをスープ・ノルム: ||f|| = sup{|f(s)|; s ∈ Ω} で定めると、C(Ω) は定数関数 1 を単位元としてもつ可換な C*-環となる。逆に、単位元をもち可換な C*-環はあるコンパクトハウスドルフ空間 Ω についての C(Ω) と同型になる（Gelfand-Naimark の定理）。

C_o(Ω): 同様にして局所コンパクトハウスドルフ空間 Ω 上の無限遠で消える複素数値連続関数のなす関数空間 C_o(Ω) = {f ∈ C(Ω); 任意の ε > 0 に対して |f(s)| ≥ ε となる s ∈ Ω のなす集合はコンパクト} （例えば実直線 ℝ 上の lim_|t|→∞ f(t) = 0 であるような関数たち）を考えると、上の例と同様のノルムと対合によって C_o(Ω) は（Ω がコンパクトでないときには単位元をもたない）可換な C*-環となる。

B(H): ヒルベルト空間 H 上の有界線形作用素のなす代数 B(H) はノルムを作用素ノルム: ||A|| = sup{||Ax|| / ||x||; x(≠ 0 ) ∈ H}, 対合を (A^*x,y) = (x,Ay) で特徴付けられる共役作用（adjoint operation）として、H 上の恒等作用素 I 単位元にもつ C*-環になる。