C-estrella-álgebra
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Las C*-álgebras se estudian en análisis funcional y se utilizan en algunas formulaciones de la mecánica cuántica. Una C*-álgebra es un álgebra de Banach sobre el cuerpo de los números complejos, junto con una función 
llamada involución que tiene las propiedades siguientes:
; aquí, 
significa la conjugación compleja de λ.
- (xy)* = y* x* para todo x, y en A
- (x*)* = x para todo x en A
- la C* identidad:
- ||x x*|| = ||x||² para todo x en A.
Las álgebras C* son también * álgebras.
Si se omite la última propiedad, hablamos de una B*-álgebra.
Por el teorema de Gelfand-Naimark, las C*-álgebras son (módulo un isomorfismo) exactamente aquellas álgebras de operadores acotados en los espacios de Hilbert que son cerradas en la topología de la norma y bajo tomar adjuntos, con la función de involución dada por el tomar adjunto.
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[editar] *-Homormorfismos y *-Isomorfismos
La función f: A 
B entre B*-álgebras A y B se llama un*-homomorfismo si
- f es C-lineal
- f(xy) = f(x)f(y) para x y y en A
- f(x*) = f(x)* para x en A.
Tal función f es automáticamente continua. Si f es biyectiva, entonces su inversa es también un *-homorfismo y f se llama un *-isomorfismo y A y B se dicen *-isomorfos. En ese caso, A y B son para todos los propósitos prácticamente iguales; se diferencian solamente en la notación de sus elementos. La estructura de una C*-álgebra fuerza cualesquiera *-homomorfismos a ser contractivos; y un homomorfismo es inyectivo si y solamente si es isométrico.
[editar] Ejemplos de C*-álgebras
El álgebra de n-por-n matrices sobre C se convierte en una C*-álgebra si utilizamos la norma de la matriz ||.||2 que surge como la norma de operador de la norma euclidiana en Cn. La involución viene dada por la traspuesta conjugada. El ejemplo motivante de una C*-álgebra es el álgebra de los operadores lineales continuos definidos en un espacio de Hilbert complejo H; aquí x* denota el operador adjunto del operador x: HH. De hecho, cada C*-álgebra es *-isomorfa a una subálgebra cerrada de tal álgebra de operadores para un espacio de Hilbert H conveniente; éste es el contenido del teorema de Gelfand-Naimark.
Un ejemplo de una C*-álgebra conmutativa es el álgebra C(X) de todas las funciones continuas complejo-valoradas definidas en un compacto Hausdorff X. Aquí la norma de una función es el supremo de su valor absoluto, y la operación estrella es la conjugación compleja. Cada C*-álgebra conmutativa con elemento unidad es *-isomorfa a una tal álgebra C(X) usando la representación de Gelfand.
Si uno parte de un espacio localmente compacto de Hausdorff X y considera las funciones continuas complejo-valoradas en X que se anulan en el infinito (definido en el artículo sobre la compacidad local), entonces éstas forman una C*-álgebra conmutativa C0(X); si X no es compacto, entonces C0(X) no tiene elemento unidad. Una vez más la representación de Gelfand demuestra que cada C*-álgebra conmutativa es *-isomorfa a una álgebra de la forma C0(X).
[editar] Álgebras de von Neumann
Las álgebras de von Neumann, conocidas como W* álgebras antes de los años 60, es una clase especial de C* álgebras. Se les requiere ser cerradas en una topología que es más débil que la topología de la norma. Su estudio es una rama en sí misma de las matemáticas, a parte de las C*-álgebras.
[editar] C*-álgebras y la teoría cuántica de campos
En teoría cuántica de campos, se describe típicamente un conjunto físico con una C*-álgebra A con elemento unidad; los elementos auto-adjuntos de A (elementos x con x* = x) se interpretan como observables, las cantidades medibles, del sistema. Un estado del sistema se define como una funcional positiva en A, una función C-lineal φ;: A C con φ(u, u*) > 0 para todo u 
A, tal que φ(1) = 1. El valor esperado del observable x, si el sistema está en el estado φ, es entonces φ(x).
[editar] Véase también
- Física local cuántica.
- Álgebra sobre un cuerpo (álgebra).
- Álgebra asociativa
- Estrella-álgebra, (* álgebra).
- B-estrella-álgebra, B* álgebra.
