素イデアル

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目次 1 Introduction 2 定義　 3 具体例 4 定理　 5 関連項目

[編集] Introduction

素イデアルは、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。 歴史的には、素数（素元）の概念の拡張として出てきたものである。 概形(スキーム)の理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成する というideaがもとになっているが、その時に、その環の素イデアル １つ１つが、下の空間の点に対応する。

[編集] 定義　

環Aの真の（即ち、A と異なる）イデアルPが素イデアル であるとは、

が成立するときを言う。通常、素イデアルはアルファベットので表す。

以下、環は全て単位元を持つ可換環とする。この場合が 特に大切である。

このとき、上に挙げた素イデアルの定義は以下の条件1,2のどちらとも同値である。

1. 剰余環A / Pが整域
2. Aの任意のイデアルI,Jについて、

が 成立する

特に条件の1から、任意の極大イデアルが素イデアルである ことがわかる。なぜなら、イデアルmが極大イデアル であるための条件は、A / mが体であることだから。

[編集] 具体例

1. 整数環Zにおいて、素数pの倍数全体

が成すイデアル。一般に、環Aにおいて、 その素元pが生成するイデアルpA は素イデアルになる。これは逆も正しい。

1. 一般に、A,Bを環、

を環の準同型としたとき、fによる、B の任意の素イデアルの引き戻しは、Aの素イデアルになる。

[編集] 定理　

Aを環Rの固有のイデアルとする。Aが素イデアルであるためには商環R/Aが整域をなすことが必要十分である。

[編集] 関連項目

• 局所化
• 局所環
• 概形
• 代数幾何学
• 零点定理